Question

Duas matrizes A e B comutam se AB = BA. Generalize todas as matrizes [abcd] que comutam com[1101]

Answer 1

Vamos garantir a igualdade:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&1\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&1\\\end{array}\right]$

Fazendo as multiplicações, temos:

$\left[\begin{array}{ccc}(a+c)&(b+d)\\c&d\\\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}a&(a+b)\\c&(c+d)\\\end{array}\right]$

Calculando o determinante:

$(a+c)*d-c(b+d)=a(c+d)-c(a+b)$

Organizando:

$ad+cd-cb-cd=ac+ad-ac-cb$

Como podemos observar, todos os fatores se cancelam. Isso significa que a afirmação é verdadeira para quaisquer valores Reais de a,b,c,d.