Question

Duas massas M e m são conectadas por uma haste rígida de
comprimento L e massa desprezível, como mostra a figura. Para um
eixo perpendicular à haste, mostre que o sistema tem o momento
mínimo de inércia quando o eixo passa pelo centro de massa. exposição
que esse momento de inércia é
I= uL.L, onde u=mM/(m+M).

Answer 1

Utilizando definição de momento de inercia, temos que este momento de inercia é de fato igual a $I=u.L^2$ com centro de massa igual a $x=\frac{mL}{m+M}$.

Explicação:

Sabemos que o momento de inercia total de um corpo é a soma dos momentos de inercia em relação ao mesmo eixo, e o momento de inercia de um corpo pontual é dado por:

$I=M.R^2$

Assim podemos calcular os momentos de inercia de cada massa:

$I_1=M.x^2$

$I_2=m.(L-x)^2$

Agora podemos somar os dois e termos o momento de inercia total:

$I=I_1+I_2$

$I=M.x^2+m.(L-x)^2$

Abrindo esta conta:

$I=M.x^2+m.(L^2-2xL+x^2)$

$I=(M+m).x^2-2mL.x+mL^2$

Assim temos que esta é uma equação do segundo grau e se queremos o minimo de uma função, basta derivarmos ela e igualarmos a 0:

$I=(M+m).x^2-2mL.x+mL^2$

$I'=2(M+m).x-2mL$

$0=2(M+m).x-2mL$

Isolando x:

$2(M+m).x=2mL$

$(M+m).x=mL$

$x=\frac{mL}{m+M}$

Agora vamos substituir este valor de x no momento de inercia total:

$I=M.x^2+m.(L-x)^2$

$I=M.\left(\frac{mL}{m+M}\right)^2+m.\left(L-\frac{mL}{m+M}\right)^2$

$I=\frac{m^2ML^2}{(m+M)^2}+m.L^2\left(1-\frac{m}{m+M}\right)^2$

$I=\frac{m^2ML^2}{(m+M)^2}+m.L^2\left(\frac{m+M}{m+M}-\frac{m}{m+M}\right)^2$

$I=\frac{m^2ML^2}{(m+M)^2}+m.L^2\left(\frac{M}{m+M}\right)^2$

$I=\frac{m^2ML^2}{(m+M)^2}+\frac{mL^2M^2}{(m+M)^2}$

Colocando valores similares em evidência:

$I=\frac{mML^2}{(m+M)^2}(m+M)$

$I=\frac{mML^2}{m+M}$

$I=\frac{mM}{m+M}.L^2$

Substituindo o primeiro termo pela massa central:

$I=u.L^2$

E assim temos que este momento de inercia é de fato igual a $I=u.L^2$ com centro de massa igual a $x=\frac{mL}{m+M}$.