Duas formiguinhas andam em sentidos contrários sobre uma circunferência. Enquanto uma delas dá nove voltas na circunferência, a outra dá seis. Em quantos pontos distintos da circunferência elas se cruzam? (obs:prova da OBMEP, preciso urgente!!!! respostas certas por favor)
A)6)
B)5
C)4
D)3
E)2
Soluções para a tarefa
As formiguinhas se encontram em cinco pontos distintos.
Uma circunferência completa tem 360 graus, que equivale a 2 duas voltas de 180 °, sabe-se que uma volta é 180° e em radianos terá o valor de π rad.
Temos assim que uma volta equivale a 360 graus
Uma formiga deu 6 voltas: 6*360 = 2.160°
Outra formiga de 9 voltas: 9 * 360 = 3.240°
Vamos denominar o comprimento da circunferência com L
Quando a formiga A dá 9 voltas a outra completa a sexta volta, obtemos assim:
Va / Vb = 9/6 = 2/3
dA / dB = 9/6 = 2/3
Enquanto fA percorre 360º, fA percorre 2/3 de 360º = 240º
S1 = 0 + 360t (1)
S2 = 360 – 240t (2)
No momento do encontro, teremos a posição das formigas iguais ( S1 = S2 )
360t = 360-240t
360t + 240t = 360
600t = 360
t = 360/600 = 3/5
Para saber onde se deu o 1º encontro basta substituir 3/5 na equação (1):
S1 = 360*t
360*3/5
216º
Dessa forma, obtemos que elas se encontrarão a cada 216°
1º Encontro: 216º a partir da origem
2º Encontro: 216º + 216º = 2*216º = 432º ( 360° + 72°)
3º Encontro: 432º + 216º = 3*216º = 648º ( 360° + 288°
4º Encontro: 648+ 216º = 4*216º = 864º ( 360° + 360° + 144°)
5º Encontro: 864+216º = 5*216º = 1080º ( 360° + 360° + 360° )
6º Encontro: 1080º + 216º = 6*216 = 1296º ( 360° + 360° + 360° + 216°) a partir desse ponto se encontram em posições iguais.
7º Encontro: : 1296° + 216 = 7 * 216 = 1512° ( 4 voltas + 72 ° ) a partir desse ponto se encontram em posições iguais.
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