Question

Duas esferas congruentes com 20 cm de diâmetro passam uma pelo
centro da outra. Qual é o volume da região comum? Justifique seus cálculos.

Answer 1

A questão pede noção de geometria espacial, em especial, de esferas. Para resolver este exercício é preciso ter uma boa abstração para determinarmos a região de intersecção das esferas. Imagine uma esfera na origem, e outra centralizada em seu ponto de altura máxima de forma que uma passe pelo centro uma da outra. Não é difícil imaginar que a região de intersecção entre elas é uma junção de 2 'cascas' iguais formadas pelas esferas, como mostra a figura.

Deste modo, o volume desta região é o dobro do volume de uma esfera a partir de uma certa altura. Como encontrar esta altura e calcular o volume?

O cálculo da altura é simples e basta um pouco de geometria analítica para obtermos. Sabemos que as esferas têm raio 20 cm, portanto, sabemos sua equação

$e_1: x^2+y^2+z^2=20^2\\ e_2: x^2+y^2+(z-20)^2=20^2$

Quando elas se intersectam, (x, y, z) são tais que

$x^2+y^2+z^2 = x^2+y^2+(z-20)^2$

$z^2=(z-20)^2 \iff z^2=z^2-40z+400 \iff 40z=400$

$z=10\, \mathrm{cm}$

Agora temos de encontrar uma forma de calcular o volume de uma esfera entre a altura de 10 e 20 cm. Podemos modelar uma forma de obter o volume de um sólido a partir da área dele em função da altura, a partir da definição de integral. Deste modo, temos de encontrar a área da secção tranversal da esfera. Sabemos que o raio da esfera numa altura z é dado por

$r(z) = \sqrt{x^2+y^2}$

Mas, como

$x^2+y^2 = 20^2-z^2$,

$r(z) = \sqrt{20^2-z}$

Portanto, a área em função de z torna-se

$A(z) = \pi r(z)^2 = \pi (20^2-z^2)$

E o volume é simplesmente a integral da área em função de z,

$V(z) = \displaystyle\int_{z_0}^z A(z) \, dz$

Onde os limites de integração são as alturas entre as quais queremos obter o volume e é nos conhecido que metade da região que queremos é o volume da esfera entre as alturas 0.1 e 0.2, portanto,

$V = \displaystyle\int_{0.1}^{0.2} \pi(400-z^2)\, dz$

$V = 400\pi\cdot z -\pi\cdot\dfrac{z^3}{3}\Bigg |_{10}^{20}$

$V = 400\pi\cdot 20 -\pi\cdot\dfrac{20^2}{3} - \left(400\pi\cdot 10 -\pi\cdot\dfrac{10^2}{3}\right)$

$V = \dfrac{5000\pi}{3} \, \mathrm{cm}^3$

Como a intersecção constitui 2 destas regiões, então, o volume da região de intersecção das esferas é igual à

$V = \dfrac{10000\pi}{3}\, \mathrm{cm}^3$

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