Question

Duas esferas, A e B, feitas de um mesmo metal, de raios RA = R e RB = R/2 estão guardadas dentro
de uma caixa selada e termicamente isolada. Se as temperaturas iniciais das esferas A e B são iguais a
TA = 25 °C e TB = 70 °C, calcule a temperatura das esferas, quando o equilíbrio térmico for atingido.

Answer 1

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•   Raio da esfera A:   $\mathsf{R_A=R;}$

•   Volume da esfera A:

     $\mathsf{V_A=\dfrac{4}{3}\,\pi R_A^3}\\\\\\ \mathsf{V_A=\dfrac{4}{3}\,\pi R^3;}$

•   Temperatura inicial da esfera A:   $\mathsf{T_A=25~^\circ C;}$


•   Raio da esfera B:   $\mathsf{R_B=\dfrac{1}{2}\,R;}$

•   Volume da esfera B:

     $\mathsf{V_B=\dfrac{4}{3}\,\pi R_B^3}\\\\\\ \mathsf{V_B=\dfrac{4}{3}\,\pi \left(\dfrac{1}{2}\,R\right)^3;}$

•   Temperatura inicial da esfera B:   $\mathsf{T_B=70~^\circ C;}$


Como as esferas são constituídas pelo mesmo metal, supondo que sejam maciças, a densidade de ambas é

$\mathsf{\rho=\rho_A=\rho_B;}$


e o calor específico de ambas é

$\mathsf{c=c_A=c_B.}$

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•   massa da esfera A:   $\mathsf{m_A=\rho\cdot V_A;}$

•   massa da esfera B:   $\mathsf{m_B=\rho\cdot V_B;}$

•   temparatura no equilíbrio térmico:   $\mathsf{T}.$

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A soma das quantidades de calor trocadas entre as esferas deve ser igual à zero, pois ambas estão termicamente isoladas dentro da caixa:

$\mathsf{Q_A+Q_B=0}\\\\ \mathsf{m_A\cdot c\cdot (T-T_A)+m_B\cdot c\cdot (T-T_B)=0}\\\\ \mathsf{(\rho\cdot V_A)\cdot c\cdot (T-T_A)+(\rho\cdot V_B)\cdot c\cdot (T-T_B)=0}\\\\ \mathsf{\left[\rho\cdot \dfrac{4\pi}{3}\,R^3\right]\cdot c\cdot (T-T_A)+ \bigg[\rho\cdot \dfrac{4\pi}{3}\left(\dfrac{1}{2}\,R\right)^{\!\!3}\bigg]\cdot c\cdot (T-T_B)=0}$

$\mathsf{\left[\rho\cdot \dfrac{4\pi}{3}\,R^3\right]\cdot c\cdot (T-T_A)+ \bigg[\rho\cdot \dfrac{4\pi}{3}\cdot \dfrac{1}{8}\,R^3\bigg]\cdot c\cdot (T-T_B)=0}\\\\\\ \mathsf{\rho\cdot \dfrac{4\pi}{3}\,R^3\cdot c\cdot \left[(T-T_A)+\dfrac{1}{8}\,(T-T_B) \right]=0}\\\\\\ \mathsf{(T-T_A)+\dfrac{1}{8}\,(T-T_B)=0}$

$\mathsf{(T-25)+\dfrac{1}{8}\,(T-70)=0}\\\\\\ \mathsf{8(T-25)+(T-70)=0}\\\\ \mathsf{8T-200+T-70=0}\\\\ \mathsf{8T+T=200+70}$

$\mathsf{9T=270}\\\\ \mathsf{T=\dfrac{270}{9}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{T=30~^\circ C} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{temperatura das esferas no equil\'ibrio t\'ermico.}$


Bons estudos! :-)


Tags:   trocas de calor conservação energia calor sensível calorimetria termologia