Question

Duas circunferências são secantes, e a distância entre
os seus centros é de 16 cm. Sabendo que o raio da menor
circunferência mede 10 cm, determine o raio da maior
circunferência, levando em consideração que esse é o maior
número inteiro possível:
(A) 7.
(B) 10.
(C) 16.
(D) 25.
(E) 26.

Answer 1

O maior tamanho possível para o raio é menor que 26cm, logo, a medida do raio da circunferência maior é de 25cm, maior número inteiro.

$\boxed{\bf Alternativa~correta\Rightarrow D}$

Circunferências secantes

São aquelas que possuem dois pontos quaisquer em comum, ou seja, uma circunferência intercepta a outra em dois pontos distintos.

As circunferências secantes podem ser representadas pela figura abaixo:

$\setlength{\unitlength}{0.7cm}\begin{picture}(7,5)\linethickness{0.7pt}\bezier(-4.5,3)(-4.45,4.8)(-2.6,5.2)\bezier(-0.25,3)(-0.4,5.2)(-2.6,5.2)\bezier(-4.5,3)(-4.3,1.1)(-2.6,0.95)\bezier(-0.25,3)(-0.5,0.9)(-2.6,0.95)\put(-3.35,2.8){\huge\text{ _{\sf c_{1}}\bullet }}\put(-1.7,2.85){\Large\bullet}\put(-1.3,3.3){\large \sf p_{1} }\bezier(-1.5,3)(-1.3,5.75)(1.5,6)\bezier(-1.5,3)(-1.17,0.2)(1.5,0)\bezier(4.5,3)(4.27,0.3)(1.5,0)\bezier(4.5,3)(4.3,5.7)(1.5,6)\put(-0.45,2.85){\Large\bullet}\put(-0.15,3.3){\large \sf p_{2} }\put(1.35,2.8){\huge\text{ \bullet_{\sf c_{2}} }}\linethickness{1.3pt}\put(-2.5,3.05){\line(1,0){4}}\thicklines\put(-4.2,4.2){\line(3,-2){1.7}}\put(-3.4,3.8){\large \sf r_{1} }\put(1.6,3){\line(3,2){2.4}}\put(2.2,4){\large \sf r_{2} }\end{picture}$

$\begin{array}{l} \tt \orange{A~figura~acima~n\tilde{a}o~\acute{e}~vis\acute{i}vel~no~app}\\ \tt \green{Experimente~acessar~a~resposta}\\\green{\tt pelo~navegador~web} \end{array}$

De modo geral, para determinar se circunferências são secantes, utiliza-se a seguinte fórmula:

$\begin{array}{l}\large\bf |r_{1} - r_{2}| < d_{c1c2} < r_{1} + r_{2}\\\sf Onde:\:d_{c1c2}\:\acute{e}\:a\:dint\hat{a}ncia\:ente\:os\:centros\end{array}$

Obtendo-se a não contradição, conclui-se que são secantes.

◕ Mãos à obra

Aplicando as informações do problema à equação, obtemos:

$\large\bf |10 - r_{2}| < 16 < 10 + r_{2}$

Resolvendo, separe a equação em duas:

$\begin{array}{l}\begin{cases}\bf 16>|10-r_{2}|\\\bf 16<10+r_{2}\end{cases}\\\\\Rightarrow\sf Separe~a~1^{a}~em~dois~casos~poss\acute{i}veis\\\bf 10-r_{2} < 16\\\bf-(10-r_{2}) < 16\:\tiny(\!\times\!-\!1)\normalsize\Rightarrow 10-r_{2} > -16\\\\\Rightarrow\sf Resolvendo~as~inequac_{\!\!,}\tilde{o}es\\\bf -r_{2} < 16-10 \Rightarrow r_{2} > -6\\\bf -r_{2} > -16 -10 \Rightarrow  r_{2} < 26\\\\\Rightarrow\sf Obt\acute{e}m\!-\!se~a~uni\tilde{a}o\\\bf r_{2} \in \boldsymbol\langle\!-\!6, 26\:\boldsymbol\rangle\\\\\Rightarrow\sf Resolvendo~as~intersec_{\!\!,}\tilde{o}es\\\sf entre~as~equac_{\!\!,}\tilde{o}es\\\bf r_{2} \in \boldsymbol\langle\!-\!6, 26\:\boldsymbol\rangle\\\bf r_{2} > 6\\\\\Rightarrow\sf Obt\acute{e}m\!-\!se~as~medidas\\\sf m\acute{i}nima~e~m\acute{a}xima~do~raio\\\boxed{\large\bf r_{2} \in \boldsymbol\langle 6, 26\boldsymbol\rangle}\end{array}$

Assim, determinados o tamanho do raio da circunferência

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Dúvidas? Estarei a disposição para eventuais esclarecimentos.

$\begin{array}{l}\textsf{\textbf{Bons\:estudos!}}\\\\\sf Sua\:avaliac_{\!\!,}\tilde{a}o\:me\:ajuda\:a\:melhorar~\orange{\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar}\\\textsf{Marque\:como\:a\:melhor\:resposta\:\textbf{se\:for\:qualificada}}\\\\\textsf{\textbf{\green{Brainly}}\:-\:\blue{\sf Para\:estudantes.\:Por\:estudantes}}\end{array}$