Question

Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102

Answer 1

A figura da pergunta está em anexo.

Temos que a rodovia R101 tem 300 km de extensão e que a 160km da cidade X, temos a cidade Z por onde passa a rodovia R102 perpendicular à R101.
A distância entre Y e Z é 140km.

O ponto P dista de 120km da cidade Z. Considerando que Z se localiza na origem do plano cartesiano, o ponto P é (120, 0) e o ponto X é (0, -160).

O enunciado pede a menor distância entre Y(0,140) até a estrada R103 que será perpendicular à esta.

Vamos primeiramente encontrar a equação da reta que passa por X e P:
y = ax + b
-160 = a*0 + b
0 = a*120 + b

a = 4/3
b = -160

R103: y = 4x/3 - 160

Precisamos agora encontrar a equação da reta que passa por Y e é perpendicular a estrada R103. Para isto, sabemos que esta reta possui coeficiente angular inverso negativo à R103. Então:
r: y = -3x/4 + 140

O ponto de interseção entre as duas retas é o ponto I, cujo segmento YI é a menor distância possível para a estrada nova:
y = 4x/3 - 160   ---> 3y - 4x = -480
y =-3x/4 + 140  ---> 4y + 3x = 560

Resolvendo o sistema temos que I é (144, 32)
Portanto a distância é:
$d(Y,I) = \sqrt{(144-0)^2+(32-140)^2} \\ \\ d(Y,I) = 180\ km$

Resposta: letra E