Question

Duas cargas pontuais de Q1 = 5mC e Q2=-4mC estão localizadas em (3,2,1) e
(-4,0,6) respectivamente. Determine a força sobre Q1

e

Duas cargas pontuais Q1 e Q2 estão localizadas em (4,0-3) e (2,0,1), respectivamente. Se Q2 = 4nC, determine Q1 tal que a força sobre a carga de teste em (5,0,6) não tenha componente em x

Answer 1

Questão 1:


A cargas $Q_{1}$ e $Q_{2}$ estão sobre os pontos $P_{1}=(3,\;2,\;1)$ e $P_{2}=(-4,\;0,\;6)$ respectivamente.


A força de $Q_{2}$ sobre $Q_{1}$ é

$\vec{\mathbf{F}}_{21}=K\cdot \dfrac{Q_{2}\cdot Q_{1}}{r^{2}}\cdot \hat{\mathbf{u}}$


$\hat{\mathbf{u}}$ é o vetor unitário orientado de $P_{2}$ para $P_{1};$


$\bullet\;\;$ Encontrando o vetor $\overrightarrow{P_{2}P_{1}}:$

$\overrightarrow{P_{2}P_{1}}=P_{1}-P_{2}\\ \\ \overrightarrow{P_{2}P_{1}}=(3,\;2,\;1)-(-4,\;0,\;6)\\ \\ \overrightarrow{P_{2}P_{1}}=(7,\;2,\;-5)$


$\bullet\;\;$ Encontrando a distância $r:$

$r=\|\overrightarrow{P_{2}P_{1}}\|\\ \\ r=\sqrt{7^{2}+2^{2}+(-5)^{2}}\\ \\ r=\sqrt{49+4+25}\\ \\ r=\sqrt{78}\text{ m}$


$\bullet\;\;$ Encontrando o versor $\hat{\mathbf{u}}:$

$\hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{r}\cdot \overrightarrow{P_{2}P_{1}}\\ \\ \\ \hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{r}\cdot (7,\;2,\;-5)$


$\bullet\;\;$ A força sobre $Q_{1}$ é

$\vec{\mathbf{F}}_{21}=K\cdot \dfrac{Q_{2}\cdot Q_{1}}{r^{2}}\cdot \dfrac{1}{r}\cdot (7,\;2,\;-5)\\ \\ \\ \vec{\mathbf{F}}_{21}=(9,0\cdot 10^{9})\cdot \dfrac{(-4\cdot 10^{-3})\cdot (5\cdot 10^{-3})}{(\sqrt{78})^{3}}\cdot (7,\;2,\;-5)\\ \\ \\ \vec{\mathbf{F}}_{21}=-261,3\cdot (7\hat{\mathbf{i}}+2\hat{\mathbf{j}}-5\hat{\mathbf{k}})\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\vec{\mathbf{F}}_{21}=-1\,829,1\,\hat{\mathbf{i}}-522,6\,\hat{\mathbf{j}}+1\,306,5\,\hat{\mathbf{k}}\;\;\;\mathrm{(N)}\end{array}}$


Questão 2:


As cargas $Q_{1},$ $Q_{2}$ estão sobre os pontos $P_{1}=(4,\;0,\;-3)\;\text{ e }\;P_{2}=(2,\;0,\;1),$ respectivamente.

A carga de prova $q$ será posta no ponto $P=(5,\;0,\;6).$


$\bullet\;\;$ A força de $Q_{1}$ sobre a carga de prova é

$\vec{\mathbf{F}}_{1}=K\cdot \dfrac{Q_{1}\cdot q}{r_{1}^{2}}\cdot \hat{\mathbf{u}}$


onde $r_{1}$ é a distância de $Q_{1}$ até $q,$

$\hat{\mathbf{u}}$ é o vetor unitário orientado de $P_{1}$ para $P.$


Encontrando o versor $\hat{\mathbf{u}}:$

$\hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{r_{1}}\cdot \overrightarrow{P_{1}P}\\ \\ \hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{r_{1}}\cdot (P-P_{1})\\ \\ \hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{r_{1}}\cdot ((5,\;0,\;6)-(4,\;0,\;-3))\\ \\ \hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{r_{1}}\cdot (1,\;0,\;9)$


A componente horizontal de $\hat{\mathbf{u}}$ é

$\hat{\mathbf{u}}_{x}=\frac{1}{r_{1}}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \\ u_{x}=\frac{1}{r_{1}}$
 

A distância $r_{1}$ é

$r_{1}=\|\overrightarrow{P_{1}P}\|\\ \\ r_{1}=\sqrt{1^{2}+0^{2}+9^{2}}\\ \\ r_{1}=\sqrt{82}\mathrm{\;m}$


A componente horizontal da força de $Q_{1}$ sobre a carga de prova é

$\vec{\mathbf{F}}_{1x}=K\cdot \dfrac{Q_{1}\cdot q}{r_{1}^{2}}\cdot \hat{\mathbf{u}}_{x}\\ \\ \\ \vec{\mathbf{F}}_{1x}=K\cdot \dfrac{Q_{1}\cdot q}{r_{1}^{2}}\cdot \dfrac{1}{r_{1}}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \\ \\ \vec{\mathbf{F}}_{1x}=K\cdot \dfrac{Q_{1}\cdot q}{r_{1}^{3}}\,\cdot \hat{\mathbf{i}}$


$\bullet\;\;$ A força de $Q_{2}$ sobre a carga de prova é

$\vec{\mathbf{F}}_{2}=K\cdot \dfrac{Q_{2}\cdot q}{r_{2}^{2}}\cdot \hat{\mathbf{v}}$


onde $r_{2}$ é a distância entre $Q_{2}$ e $q,$

$\hat{\mathbf{v}}$ é o vetor unitário orientado de $P_{2}$ para $P.$


Encontrando o versor $\hat{\mathbf{v}}:$

$\hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{r_{2}}\cdot \overrightarrow{P_{2}P}\\ \\ \hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{r_{2}}\cdot (P-P_{2})\\ \\ \hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{r_{2}}\cdot ((5,\;0,\;6)-(2,\;0,\;1))\\ \\ \hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{r_{2}}\cdot (3,\;0,\;5)$


A componente horizontal de $\hat{\mathbf{v}}$ é

$\hat{\mathbf{v}}_{x}=\frac{3}{r_{2}}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \\ v_{x}=\frac{3}{r_{2}}$


A distância $r_{2}$ é

$r_{2}=\|\overrightarrow{P_{2}P}\|\\ \\ r_{2}=\sqrt{3^{2}+0^{2}+5^{2}}\\ \\ r_{2}=\sqrt{34}\mathrm{\;m}$


A componente horizontal da força de $Q_{2}$ sobre a carga de prova $q$ é

$\vec{\mathbf{F}}_{2x}=K\cdot \dfrac{Q_{2}\cdot q}{r_{2}^{2}}\cdot \hat{\mathbf{v}}_{x}\\ \\ \\ \vec{\mathbf{F}}_{2x}=K\cdot \dfrac{Q_{2}\cdot q}{r_{2}^{2}}\cdot \dfrac{3}{r_{2}}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \\ \\ \vec{\mathbf{F}}_{2x}=3K\cdot \dfrac{Q_{2}\cdot q}{r_{2}^{3}}\,\cdot \hat{\mathbf{i}}$


Queremos que

$\vec{\mathbf{F}}_{1x}+\vec{\mathbf{F}}_{2x}=0\,\hat{\mathbf{i}}\\ \\ K\cdot \dfrac{Q_{1}\cdot q}{r_{1}^{3}}+3K\cdot \dfrac{Q_{2}\cdot q}{r_{2}^{3}}=0\\ \\ \\ K\cdot \dfrac{Q_{1}\cdot q}{r_{1}^{3}}=-3K\cdot \dfrac{Q_{2}\cdot q}{r_{2}^{3}}\\ \\ \\ Q_{1}=-3Q_{2}\cdot \dfrac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}$


Substituindo os valores, chegamos a

$Q_{1}=-3\cdot 4\cdot \dfrac{(\sqrt{82})^{3}}{(\sqrt{34})^{3}}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}Q_{1}\approx -44,9\mathrm{\;nC} \end{array}}$