Question

Duas bolas idênticas se chocam frontalmente. Uma delas (bola X) tem velocidade igual a 5cm/s para um sentido e a outra (bola Y) de 3cm/s, no sentido oposto. Sendo uma colisão elástica, calcule a velocidade de cada bola após o choque.

Answer 1

Colisão elástica = não há perda de energia. Temos no exercício então duas quantidades conservadas: a energia e o momento.

Dados:
mX = mY = m
vXi = 5 cm/s 
vYi = - 3 cm/s (sentido oposto)

Pela conservação da energia:
Ei = Ef
m(vXi)²/2 + m(vYi)²/2 = m(vXf)²/2 + m(vYf)²/2     
Podemos multiplicar tudo por 2 e dividir por m:
(vXi)² + (vYi)² = (vXf)² + (vYf)²
5² + (- 3)² = (vXf)² + (vYf)²
(vXf)² + (vYf)² = 34   (i)


Pela conservação do momento (quantidade de movimento):
Qi = Qf
m(vXi) + m(vYi) = m(vXf) + m(vYf)
(vXi) + (vYi) = (vXf) + (vYf)
5 + (- 3) = (vXf) + (vYf)
(vXf) + (vYf) = 2   (ii)

Sabemos que:
(vXf + vYf)² = (vXf)² + 2.(vXf).(vYf) + (vYf)²
(vXf + vYf)² = (vXf)² + (vYf)² + 2.(vXf).(vYf)
2² = 34 + 2.(vXf).(vYf)
2.(vXf).(vYf) = 4 - 34
2.(vXf).(vYf) = - 30
(vXf).(vYf) = - 15  (iii)

De (ii), temos:
vXf = 2 - vYf

Substituindo em (iii):
(2 - (vYf)).(vYf) = - 15
2(vYf) - (vYf)² = - 15
(vYf)² - 2(vYf) - 15 = 0
Por soma e produto:
(vYf - 5).(vYf + 3) = 0
vYf = 5 cm/s
ou
vYf = - 3 cm/s (não válida porque após o choque Y se afasta de X)

Se vYf = 5 cm/s, substituindo em (ii):
vXf =  2 - 5
vXf =  - 3 cm/s
 
Portanto, em um choque elástico entre massas iguais, após a colisão cada massa assume a velocidade inicial da outra massa.

Solução:
vXf = - 3 cm/s
vYf = 5 cm/s.