Question

Duas barras, uma de vidro e outra de aço, têm o mesmo comprimento a 0°C, e, a 100°C, os seus comprimentos diferem de 1 mm. Os coeficientes de dilatação linear são:
para o vidro: 8x10(elevado a -6)°C-1
para o aço: 12x10(elevado a -6)°C-1
Determine o comprimento, A0°C, de cada barra.

Answer 1

Essa é a fórmula para calcular a dilatação linear do material:
$\boxed{L'=\alpha \cdot L_{o} \cdot \Delta \theta}$

Primeiro vamos calcular quanto a barra de vidro dilata a 100 ºC:
$L'_{vir}=\alpha_{vir} \cdot L_{o} \cdot \Delta \theta$
$L'_{vir}=\alpha_{vir} \cdot L_{o} \cdot (\theta_{f}-\theta_{o})$
$L'_{vir}=8\cdot10^{-6} \cdot L_{o} \cdot (100-0)$
$L'_{vir}=8\cdot10^{-6} \cdot L_{o} \cdot 100$
$L'_{vir}=800\cdot10^{-6} \cdot L_{o}$
$L'_{vir}=8\cdot10^{-4} \cdot L_{o}$

Agora vamos calcular quanto a barra de aço dilata a 100 ºC:
$L'_{aco}=\alpha_{aco} \cdot L_{o} \cdot \Delta \theta$
$L'_{aco}=\alpha_{aco} \cdot L_{o} \cdot (\theta_{f}-\theta_{o})$
$L'_{aco}=12\cdot10^{-6} \cdot L_{o} \cdot (100-0)$
$L'_{aco}=12\cdot10^{-6} \cdot L_{o} \cdot 100$
$L'_{aco}=1200\cdot10^{-6} \cdot L_{o}$
$L'_{aco}=12\cdot10^{-4} \cdot L_{o}$

Agora perceba que o coeficiente de dilatação linear é diretamente proporcional à dilatação do material. Então quanto maior o coeficiente de dilatação do material, mais ele se dilatará.

Isso quer dizer que a 100 ºC a barra de maior comprimento é a de aço, que tem o maior coeficiente de dilatação linear.

Como o comprimento inicial das duas são iguais para 0 ºC, usei Lo para ambos os comprimentos iniciais.

O comprimento final da barra é dado pela fórmula:
$\boxed{L_f=L'+L_o}$
Onde:
$L_f=\b{comprimeto final}$
$L_o=\b{comprimeto inicial}$
$L'=\b{dilatacao}$

Como a barra de aço se dilata mais que a barra de vidro:
$L_{f_{aco}}-L_{f_{vid}}=1mm$
$(L'_{vir}+L_o)-(L'_{aco}+L_o)=1$
$(12\cdot10^{-4} \cdot L_{o}+L_o)-(8\cdot10^{-4} \cdot L_{o}+L_o)=1$
$(0,0012\cdot L_{o}+L_o)-(0,0008\cdot L_{o}+L_o)=1$
$(1,0012\cdot L_{o})-(1,0008\cdot L_{o})=1$
$1,0012\cdot L_{o}-1,0008\cdot L_{o}=1$
$0,0004\cdot L_{o}=1$
$\boxed{L_{o}=\frac{1}{0,0004}}$

$\boxed{\boxed{Resposta:L_{o}=2500mm}}$
Ou
$\boxed{\boxed{Resposta:L_{o}=2,5m}}$

Para ajudar foi adicionado uma figura. A área em preto é a dilatação linear do material.