Question

duas barras metálicas têm a 20°C, comprimento iguais a 1000mm e 1001mm . se o coeficiente de dilatação linear da primeira é 18.10^-6 °C e o da segunda é 12.10^-6°C, em que temperatura seus comprimentos se igualarão?

Answer 1

Dilatometria.
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Para a variação no comprimento de um corpo sob a presença de uma fonte de calor, temos:

$\mathsf{\Delta L=L_{0}\cdot\alpha\cdot\Delta T}$

Onde:

$\mathsf{\Delta L\,\,\,\,\,\,\Rightarrow}$ Variação no comprimento da barra.

α ⇒ Coeficiente de dilatação linear do material.

$\mathsf{L_{0}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow}$ Comprimento inicial da barra.

$\mathsf{\Delta T\,\,\,\,\,\Rightarrow}$ Variação na temperatura.

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Para que as barras tenham o mesmo comprimento a soma do comprimento inicial com a variação do comprimento devido a mudança de temperatura tem que ser igual para ambas, assim:

$\mathsf{1000\,+\,\Delta L_{1}=1001\,+\,\Delta L_{2}}\\ \\ \\ \boxed{\mathsf{\Delta L_{1}-\Delta L_{2}=1}}$

Ficamos com o seguinte:

$\mathsf{L_{0,1}\cdot\alpha_{1}\cdot(T-20)\,-\,L_{0,2}\cdot\alpha_{2}\cdot(T-20)=1}\\ \\ \\ \mathsf{(T-20)\,(L_{0,1}\cdot\alpha_{1}\,-\,L_{0,2}\cdot\alpha_{2})=1}\\ \\ \\ \mathsf{T=\dfrac{1}{(L_{0,1}\cdot\alpha_{1}\,-\,L_{0,2}\cdot\alpha_{2})}+20}$

Substituindo os valores, temos:

$\mathsf{T=\dfrac{1}{(1000\cdot18\cdot10^{-6}\,-\,1001\cdot12\cdot10^{-6})}+20}\\ \\ \\ \mathsf{T=\dfrac{1}{(10^{3}\cdot18\cdot10^{-6}\,-\,1,001\cdot10^{3}\cdot12\cdot10^{-6})}+20}\\ \\ \\ \mathsf{T=\dfrac{1}{(18\cdot10^{3-6}-1,001\cdot12\cdot10^{3-6})}+20}\\ \\ \\ \mathsf{T=\dfrac{1}{10^{-3}\,(18-12,012)}+20}\\ \\ \\ \mathsf{T=\dfrac{1\cdot10^{3}}{5,988}+20}\\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{T\approx187\,\,\,\,\,\,\°C}}}$

Sendo assim, temos que as barras terão o mesmo tamanho a uma temperatura de cerca de 187°C.