Question

Doze discos são colocados sobre um círculo C de raio 1. Esses 12 discos cobrem C, não havendo superposições de discos e todos eles são tangentes aos seus vizinhos, como mostra a figura a seguir. A soma das áreas dos discos pode ser escrita na forma π (a - $b\sqrt{c}$), em que a, b e c são inteiros positivos, e c não é divisível pelo quadrado de nenhum primo. Calcule e assinale a + b + c. (A) 228 (B) 238 (C) 133 (D) 135 (E) 149

Answer 1

Se ligarmos o centro da circunferência a todos pontos de tangência dos discos, formamos 12 triângulos isósceles de altura 1 (ou seja, o raio) e a base mede a soma de dois raios de cada disco. Como o triângulo é isósceles, a altura traçada é mediana e bissetriz também. Como uma volta completa corresponde a 360 graus e dividimos esse ângulo em 12 triângulos, ou seja cada ângulo mede 360 ÷ 12 = 30.

Podemos encontrar a medida do raio r utilizando trigonometria.

$tan \ 15 = \dfrac{r}1\\\\tan \ 15 = r$

Sabemos que:

$tan \ (a-b) = \dfrac{tan \ a - tan \ b}{1-tan\ a \cdot tan \ b}$

Então:

$tan \ (45-30)= tan \ 15 = r = \dfrac{ \dfrac{3-\sqrt3}{3}}{1+1.\dfrac{\sqrt3}{3}}\\\\\\r = \dfrac{ \dfrac{3-\sqrt3}{3}}{\dfrac{3+\sqrt3}{3}}\\\\\\r = \dfrac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}$

Sabendo o raio, calculamos a área de um dos discos e igualamos a área de todos dividida por 12, ja que temos 12 discos de áreas iguais.

$12\pi \left( \dfrac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3} \right)^2 = \pi (a - b\sqrt{c})\\\\\\12 \left( \dfrac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3} \right)^2 = a - b\sqrt{c}\\\\\\12 \left( \dfrac{144-144\sqrt3+108}{36} \right) = a - b\sqrt{c}\\\\\\12 \left( \dfrac{252 - 144\sqrt3}{36} \right) = a - b\sqrt{c}\\\\\\84 - 48\sqrt3 = a- b\sqrt{c}$

Encontramos então que

a = 84

b = 48

c = 3

Assim a + b + c = 84 + 48 + 3 = 135.

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Answer 2

Resposta: Circunferência bom  Podemos Analisar Que a  é Muito Divisível Ao Que Vemos Na Imagem bom a Circunferência bom a resposta saira da seguinte forma:

como Vimos a um diametro Se Um Diametro é inferior A Circunferência Pode Ser algo Não corretamente superior oque vemos na Imagem

Então Foi Isso Duartebianca0 Espero Ter lhe ajudado!

Bons Estudos!