Question

Doze cavalos participam de uma corrida. De quantas maneiras podem ser distribuídos os três primeiros lugares?​

Answer 1

Olá, tudo bem?

✦ O que a questão quer?

A questão quer que a gente descubra o número que representa a quantidade de maneiras em que podemos distribuir os três primeiros lugares de uma corrida com doze cavalos.

✦ Como resolver a questão?

Iremos utilizar as propriedades de um arranjo simples. Para questões desse tipo devemos pensar sempre se a ordem importa ou não, como aqui trata-se de uma premiação observe que 1° lugar - cavalo 2, 2° lugar - cavalo 4, 3° lugar - cavalo 6 e 1° lugar - cavalo 6, 2° lugar - cavalo 2, 3° lugar - cavalo 4 são duas opções com os mesmos cavalos, porém a ordem em que eles estão são diferentes e isso muda sim, portanto: A ordem importa.

✦ O que é um Arranjo Simples?

Um arranjo simples é uma análise combinatória na qual a ordem dos elementos é relevante para a resolução. Temos uma fórmula para a resolução de um arranjo:

$A \: n, p = \dfrac{n!}{(n - p)!}$

Onde:

A ➺ indica "Arranjo"

n ➺ indica a quantidade total = 12 cavalos

p ➺ indica a quantidade para agrupamento = 3 lugares

Observação: O símbolo "!" na matemática indica que devemos multiplicar o número em questão pelos seus antecessores até o número 1.

✦ Qual a resposta?

Vamos substituir os valores na fórmula para resolvê-la:

$A \: n, p = \dfrac{n!}{(n - p)!} \\ \\ A \: 12, 3 = \dfrac{12!}{(12 - 3)!} \\ \\ A \: 12, 3 = \dfrac{12!}{(9)!} \\ \\ A \: 12, 3 = \dfrac{12!}{9!} \\ \\ A \: 12, 3 = \dfrac{12 \times 11 \times 10 \times \cancel 9\cancel!}{\cancel9\cancel!} \\ \\ A \: 12, 3 = 12 \times 11 \times 10 \\ \\\textcolor{red}{\boxed {\boxed {A \: 12, 3 = 1320}}}$

São 1320 as maneiras que esses 3 primeiros lugares podem ser distribuídos. ✓

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Espero ter ajudado :-) Bons estudos!