Question

Dos anagramas da palavra FELICIDADE, quantos apresentam as vogais e as consoantes intercaladas?

Answer 1

FELICIDADE = 5 consoante com 2 repetidas e 5 vogais com 2 repetições de I e 2 repetições de E:


Para intercalarmos vogais e consoantes podemos por espaços nos locais entre consoante, por exemplo, para não aparecerem consoantes juntas:

 C_C_C_C_C_

Dessa forma temos que permutar 5 consoantes com 2 repetidas:

$P^{2} _{5} = \cfrac{5!}{2!} = \cfrac{5\times 4 \times 3 \times \cancel{2!}}{\cancel{2!}} = 60$

Note que o exemplo há uma consoante no começo, mas também há o caso de ter uma consoante no fim:

_C_C_C_C_C

Então dobramos o número desses anagramas: 

Permutações de consoantes = 120

Agora pra pormos as vogais nos espaços basta permutá-las em quaisquer posições que sobram, se observar percebemos que o segundo caso é o mesmo que o primeiro, pois somente as consoantes mudaram de lugar, deixando fixas as vogais:

C_C_C_C_C_ = _C_C_C_C_C

 $P^{2,2} _{5} = \cfrac{5!}{2!\times2!} = \cfrac{5\times 4 \times 3 \times \cancel{2!}}{\cancel{2!\times 2!}} = \cfrac{5\times 4 \times 3}{2}=5\times 2 \times 3 = 30$

Permutações de vogais = 30

Por fim, temos que qualquer dos grupos de consoantes podem ser juntados com um de vogais, logo, pelo principio multiplicativo, temos um total de:

30 × 120 = 3600 anagramas possíveis

Answer 2

Existem 3600 anagramas da palavra FELICIDADE que apresentam as vogais e as consoantes intercaladas.

Esta questão está relacionada com análise combinatória. Por meio da análise combinatória, é possível estudar e definir a quantidade de maneiras diferentes que um evento pode ocorrer. Dentre os métodos de análise combinatória, temos o arranjo, a permutação e a combinação, entre outros.

Os anagramas são todas as maneiras de escrever uma palavra mudando as letras de lugares. A quantidade de anagramas de uma palavra é calculada por meio do fatorial do número de letras existente.

Nesse caso, temos cinco vogais e cinco consoantes. Veja que a própria palavra FELICIDADE é um exemplo de um anagrama com as consoantes e vogais intercaladas.

A partir disso, temos cinco opções de vogal para a primeira letra e cinco opções de consoante para a segunda letra. Depois, para as próximas duas letras, temos quatro opções de cada, e assim, sucessivamente. Logo:

$Total=5\times 5\times 4\times 4\times 3\times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 \\ \\ Total=5!\times 5!=120\times 120=14.400 \ anagramas$

Contudo, veja que temos letras repetidas na palavra, sendo duas vezes a letra D, duas vezes a letra E e duas vezes a letra I. Por isso, devemos dividir o número calculado anteriormente pelo fatorial de vezes que cada letra aparece.

$Anagramas=\dfrac{14.400}{2!\times 2!\times 2!}=1.800$

Por fim, temos que considerar mais uma situação: que podemos inverter a ordem de vogal por consoante, pois temos o mesmo número de letras para cada. Portanto:

$Total=2\times 1800=3600 \ anagramas$