Question

Dona Maria possui três filhos, Arnaldo, Bernaldo e Cernaldo. Ela fez 11 bolinhos de chocolate e vai distribuir todos os bolinhos para seus filhos de modo que cada um receba uma quantidade ímpar de bolinhos. De quantas maneiras ela pode fazer isso?

Answer 1

Olá Lia!

Temos que distribuir bolinhos para 3 pessoas, de tal modo que cada criança receba quantidade impares.

Observe se uma criança receber 11 bolinhos, outros dois deveriam receber nada.

Logo, 11 não satisfaz a condição de pelo menos 1 bolinho ser distribuído.
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Vamos estudar caso uma criança receba 9 bolinhos.

Se um receber 9,

Necessariamente, outros dois deveram receber 1 bolinho certo?



Caso 1:

$(9, 1, 1)$

Se denotarmos "x por 1" e "y por 1" teríamos:

$(9, 1,1) = (9,x,y)$

Observe que  se invertermos x po y, nosso evento seriam o mesmo. Ou seja,  (9, 1, 1) .

Logo, devemos calcular um arranjo simples de 3 elementos 2 a 2:

$\\ Caso 1 = A_{3,2} \\ \\ Caso 1 = \frac{3!}{(3-2)!} \\ \\ Caso 1 = 3$
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Analisando uma criança receber 7 bolinhos observaremos que os números possíveis seriam:


Caso 2:

(7, 1 3)

Observe que todos os números são diferentes.
Logo, sem restrição calcularemos uma permutação de 3 a 3:

$\\ Caso 2 = P_{3} \\ \\ Caso 2 =3! \\ \\ Caso 2 = 3*2*1 \\ \\ Caso 2 =6$
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Para o último caso seria uma criança receber 5 bolinhos.

Observe que teremos duas possibilidades.

Ou seja,

(5, 5, 1)  ou  (5, 3 , 3)

Caímos no mesmo exemplo do primeiro caso. 

Não podemos calcular permutação de 3 a 3, pois a 2 números repetido.

Logo,

$\\ Caso3 = 2 A_{3,2} \\ \\ Caso3 = 2* \frac{3!}{(3-2)!} \\ \\ Caso3 = 2*3 \\ \\ Caso3 = 6$
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Logo, concluímos que a quantidade de se obter distribuição em número primo cuja soma seja 11 é:

$\\ Q = A_{3,2} + P_{3} +2A_{3,2} \\ \\ Q = 3A_{3,2} +P_{3} \\ \\ Q = 3*3 + 6 \\ \\ Q = 15$