Question

domínio f(x,y)= raiz quadrada y+1 + ln(x^2-y)

Answer 1

O domínio de uma função é o conjunto formado pelos pontos os quais a função existe neste pontos. Se determinamos uma função definida

$f\,:\, \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

O domínio é um conjunto $D \subset \mathbb{R}^2$ tal que, para todo ponto $(x,\, y) \in D \implies \exists f(x,\, y)$.

Temos que encontrar o domínio da função em duas dimensões definida por

$f(x\, y) = \sqrt{y+1}+\ln(x^2-y)$

Nossa função é composta de outras funções, estas que possuem limitações em seu domínio: a raiz não está definida, nos reais, para valores negativos, assim como o logaritmo. Deste modo, temos 2 limitações para nossos valores de x e y,

$\sqrt{y+1} \implies y+1 \geq 0$

$\implies y \geq -1$

$\ln(x^2-y) \implies x^2-y>0$

$\implies y < x^2$

Deste modo, nosso domínio é a área entre a parábola dada por y = x² e a reta dada por y = -1, assim,

$D = \{(x,\, y)\in\mathbb{R}^2 \, : \, -1\leq y<x^2\}$

No anexo, o domínio está colorido em vermelho. A reta está em linha cheia pois pertence ao domínio, mas a curva pontilhada não.