Question

Domínio de raiz quarta de X^2 + X + 1


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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Domínio d'uma função

Dada a função :

$\sf{ r(x)~=~ \sqrt[4]{ \purple{ x^2 + x + 1 } } }$

para determinar o domínio de existência d'uma função ( especialmente os radicais) devemos sempre observar o índice do radical, quando o índice for ímpar o domínio é todo o conjunto dos reais, quando for par o radicando só deve ser maior ou igual a zero.

Ou seja: $\sf{ f(x)~=~ \sqrt[\blue{n}]{ \red{a} } }$

Se n for par: $\sf{ D_{f}~=~ a \geq 0 }$

No exercício em questão o índice é par ( 4 ) então :

$\iff \sf{ \purple{ x^2 + x + 1 \geq 0 } }$

Podemos transformação a inequação em equação para achar as raízes.

$\iff \sf{ x^2 + x + 1 ~=~ 0 }$

$\iff \sf{ x^2 + x + \red{ \Big( \dfrac{1}{2}\Big)^2 - \Big( \dfrac{1}{2}\Big)^2 } + 1 ~=~ 0 }$

$\iff \sf{ \Big( x + \red{ \dfrac{1}{2}} \Big)^2 \red{-\dfrac{1}{4}} + 1 ~=~0 }$

$\iff \sf{ \Big( x + \red{\frac{1}{2}}\Big)^2 - \dfrac{1+4}{4}~=~0}$

$\iff \sf{ \Big( x + \red{\dfrac{1}{2}} \Big)^2~=~ -\dfrac{3}{4} }$

$\iff \sf{ x + \red{\dfrac{1}{2}}~=~ \pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}} ~=~\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i }$

$\iff \sf{x~=~ - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i~\vee~ x~=~ -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i }$

Perceba que a equação não têm raízes nos reais por tanto o domínio são todos os reais.

$\iff \boxed{ \sf{ \red{ D_{r}~=~ \mathbb{R} } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)