Question

Dois pontos A e B estão em margens opostas de um rio e C é um ponto na mesma margem que A localizado a 25m de distância de A. Os ângulos conhecidos são, CAB= 105º e ACB=45º. Qual é a distância entre A e B?​

Answer 1

A distância entre A e B é de 25√2 metros. Para descobrir essa medida a partir das informações fornecidas, utilize a Lei dos Senos.

• O que é a Lei dos Senos?

É uma relação que pode ser estabelecida entre os lados de um triângulo qualquer e seus respectivos ângulos opostos. Observe a fórmula:

$\boxed{\dfrac{a}{sen~(A)} = \dfrac{b}{sen~(B)} = \dfrac{c}{sen~(C)}}$

• Ângulos notáveis (30°, 45°, 60°)

Observe a tabela com seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis:

$\begin{array}{c|c|c|c}&30\°&45\°&60\°\\&&\\sen&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\&&\\cos&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}\\&&\\tang&\dfrac{\sqrt{3}}{3}&1&\sqrt{3}\end{array}$

Resolução:

(Confira a imagem deixada em anexo para entender melhor o esboço do exercício).

Para achar a distância entre A e B, usamos a Lei dos Senos a partir dos valores fornecidos pelo enunciado. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°, o terceiro ângulo é de 30°.

Vamos estabelecer a seguinte relação:

$\dfrac{AB}{sen 45\°} = \dfrac{25}{sen30\°}$

A partir da tabela dos senos, podemos desenvolver essa igualdade:

$\dfrac{AB}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{25}{\dfrac{1}{2}}\\\\\\\\\dfrac{2AB}{\sqrt{2}} = 50\\\\\\\\2AB = 50\sqrt{2}\\\\AB = 25\sqrt{2}$

• Resposta

A distância entre A e B é de 25√2 metros.

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