Question

Dois poligonos regulares são tais que um deles tem o dobro do número de lados do outro. se a diferença entre as medidas dos ângulos internos desses poligonos é de 18 graus. determine o número de lados de cada um deles.



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Answer 1

Os dois polígonos possuem 10 e 20 lados respectivamente.

• Para fazer o equacionamento matemático do enunciado considere:

n₁: quantidade de lados do polígono ①.

n₂: quantidade de lados do polígono ②.

a₁: medida dos ângulos internos do polígono ①.

a₂: medida dos ângulos internos do polígono ②.

Equacione:

• Um dos polígonos tem o dobro da quantidade de lados do outro. Considere que o polígono ① tenha mais lados que o polígono ②.

n₁ = 2 ⋅ n₂

• A diferença entre as medidas de seus ângulos internos é 18 graus. Observe que quanto maior a quantidade de lados de um polígono regular, maior será a medida de seus ângulos internos, então a₁ > a₂.

a₁ − a₂ = 18 ①

• A medida dos ângulos internos de um polígono regular é obtida por:

$\large \text { \sf a = \dfrac{180 \cdot (n-2)}{n} \quad \Longrightarrow \quad \sf Substitua essa equac\!\!,\~ao na equac\!\!,\~ao \textcircled 1.}$

$\large \text { \sf \dfrac{180 \cdot (n_1-2)}{n_1}-\dfrac{180 \cdot (n_2-2)}{n_2} =18 \quad \Longrightarrow \ \sf Substitua \sf n_1 \ por \ 2 \cdot n_2 }$

$\large \text { \sf \dfrac{180 \cdot (2 \cdot n_2-2)}{2 \cdot n_2}-\dfrac{180 \cdot (n_2-2)}{n_2} =18 \quad \Longrightarrow \ \sf Multiplique \sf por \ 2 \cdot n_2/18 }$

10(2⋅n₂ − 2) − 20(n₂ − 2) = 2⋅n₂ ⟹ Execute a operação distributiva …

20⋅n₂ − 20 − 20⋅n₂ + 40 = 2⋅n₂ ⟹ Reduza os termos semelhantes.

20 = 2⋅n₂ ⟹ Divida ambos os membros por 2.

n₂ = 10 lados ⟹ Determine n₁.

n₁ = 2 ⋅ n₂

n₁ = 2 ⋅ 10

n₁ = 20 lados

Os dois polígonos possuem 10 e 20 lados respectivamente.

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