Question

Dois polígonos P1 e P2 regulares, tem respectivamente n e n+4 lados a diferença da medida do ângulo interno de P2 e a medida do ângulo interno de P1 e de 3 graus. Determine quais são os polígonos P1 e P2

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo: A soma dos ângulos internos e o ângulo interno de um polígono regular são dados por:

Si=(n-2).180° e Ai=Si/n

Para os polígonos 1 e 2, temos:

n1=n e n2=n+4 e Ai2-Ai1=3°

Então, pela diferença entre os ângulos internos de P2 e P1:

(n2-2).180°/n2 - (n1-2).180°/n=3°

(n+4-2).180°/(n+4) - (n-2).180°/n=3°

(n+2).60°/(n+4) - (n-2).60°/n=1°

Tirando o m.m.c. dos denominadores, temos:

m.m.c.(n+4, n)=(n+4).n

Logo: n.(n+2).60/(n+4).n -

(n-2).(n+4).60/n.(n+4)=1

60n^2+120n-60.(n^2+4n-2n-8)=n^2+4n

60n^2+120n-60(n^2+2n-8)=n^2+4n

60n^2+120n-60n^2-120n+480=n^2+4n

n^2+4n-480=0

Para esta equação de segundo grau, temos que o discriminante ou ∆ é dado por: ∆=b^2-4a.c

Então: ∆=4^2-4*1*(-480)=16+1920

∆=1936

Fatorando este número:

1936=2*968=4*484=4*4*121=2^4*11^2

Logo: √∆=44

Chamando as raízes de n1' e n2':

n1'=(-4-√∆)/2=(-4-44)/2=-48/2=-24

Não convém, pois não existe número de lados negativo.

Então: n2'=(-4+44)/2-->n2'=40/2

n2'=20 e n=20

Obtemos: n1=20 e n2=20+4=24

Logo, os polígonos regulares são o icoságono e o tetraicoságono.