Question

Dois polígonos P1 e P2 regulares, tem respectivamente n e n+4 lados. A diferença entre a medida do
ângulo interno de P2 e a medida do ângulo interno de P1 é de 3°. Determine quais são os polígonos P1 e P2.

Answer 1

Os polígonos P1 e P2 possuem, respectivamente, 20 e 24 lados.

Inicialmente, devemos ter em mente a equação utilizada para determinar a medida do ângulo interno de um polígono regular, conforme abaixo:

$i=\frac{180(n-2)}{n}$

Onde "n" é o número de lados do polígono. Diante do exposto, vamos calcular a diferença entre os dois ângulos internos e igualar a 3º. Dessa maneira, vamos ter apenas a incógnita "n" na equação e poderemos determinar seu valor.

$3=\frac{180(n+4-2)}{n+4}-\frac{180(n-2)}{n}\\ \\ 3=\frac{180(n+2)}{n+4}-\frac{180(n-2)}{n}\\ \\ 3=\frac{180(n+2)n-180(n-2)(n+4)}{(n+4)n} \\ \\ 3n^2+12n=180n^2+360n-180n^2+360n-720n+1440\\ \\ 3n^2+12n-1440=0(\div 3) \rightarrow \boxed{n^2+4n-480=0}$

Note que temos uma equação do segundo grau. Vamos calcular as raízes, referente ao número de lados do polígono. Devemos descartar o valor negativo, pois não é possível ter uma quantidade negativa de lados.

$\Delta=4^2-4\times 1\times (-480)=1936\\ \\ x_1=\frac{-4+\sqrt{1936}}{2\times 1}=20 \\ \\ x_2=\frac{-4-\sqrt{1936}}{2\times 1}=-24$

Portanto, os dois polígonos em questão possuem 20 e 24 lados.