Question

Dois polígonos regulares, um triângulo e um quadrilátero, foram construídos de modo a ter um vértice em comum e ambos inscritos na mesma circunferência de raio . r = √13/6m, Observe na sequência a representação desses dois polígonos e a circunferência a qual estão inscritos.



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Com base nas informações do texto, determine quantos metros quadrados a mais de área tem o quadrilátero em relação ao triângulo.

Answer 1

Considere O (letra 'o') como o centro do circulo....

De acordo com minha figura em anexo, temos a seguinte condição para Y:

Y + Y + Y = 360

3Y = 360

Y = 360 ÷ 3

Y = 120

O triangulo AOE é isósceles, pois o lado AO = OE (que também é igual ao raio). Como a soma dos ângulos internos de um triangulo vale 180, então

X + X + Y = 180       (como Y = 120 – visto acima)

2X + 120 = 180

X = 60/2

X = 30

A área de um triangulo é dada pela expressão:

At = (base × altura) ÷ 2

   → A base no triangulo em questão é o valor de AE.

   → A altura deste triangulo será OC + h que é igual a R + h, pois OC = R

⇒ Altura Triangulo:

Precisamos encontrar h..... para tal Trigonometria:

SEN X = h/R        (como X = 30 – visto acima)

SEN 30 = h/R

1/2 = h/R

h = R/2

Como dito acima, a altura é R + h, então

altura triangulo = R + h       (como h = R/2 – visto acima)

altura triangulo = R + R/2

altura triangulo = 3R/2

⇒ Base do Triangulo (lado AE) - ainda aplicando Trigonometria:

COS X = (AE/2)/R

COS 30 = AE/2R

√3/2 = AE/2R

2AE = 2R√3

AE = R√3

Agora conseguiremos calcular a área do triangulo.

At = (base × altura) ÷ 2

At = (R√3 × 3R/2) ÷ 2

At = [(3R²√3)/2] ÷ 2

At  = (3R²√3)/4

________________________________

A área do quadrado será dada por

Aq = L x L

Aq = L²

Da figura temos

d = diagonal

D = diâmetro do círculo = 2R

De Pitágoras, temos:

d² = L ² + L²      (d = diagonal)

d² = 2L²

L² = d²/2

Como Aq = L² e vimos que L² = d²/2, então Aq = d²/2

A diagonal é o diâmetro do Círculo, ou seja d = D = 2R.... Reescrevendo em função de R:

Aq = d²/2

Aq = (2R)²/2

Aq = 4R²/2

Aq = 2R²

No enunciado pede-se qual a área a mais no quadrilátero, ou seja, o que está sobrando no quadrilátero, logo temos que realizar a diferença entre At e Aq para verificar o que resta

(essa expressão poderia ser escrita como |At – Aq| ou |Aq – At|)

Aq – At = 2R² – (3R²√3)/4

(essa expressão poderia ser escrita como |At – Aq| ou |Aq – At|)

Aq – At = [8R² - 3R²√3]/4

(se for apelarmos para números (aafffff), ao substituir R pelo valor dado no enunciado, √13/6, podemos chegar a Aq – At ≈ 1/4 u.a.)

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