Question

Dois pol´ıgonos regulares P1 e P2 tem respectivamente n e n+ 1 lados. Sabendo-se que a soma das medidas de um ˆangulo interno de P1 com um ˆangulo externo de P2 vale 168◦ , determine o n´umero de diagonais desses pol´ıgonos​

Answer 1

Resposta: O número de diagonais é :$P~\!\!ara\,P_1,5\,diagonais~e~para\,P_2,9\, diagonais .$

Explicação passo-a-passo:

Sejam dois polígonos regulares $P_1$ e $P_2$ com $n$ e $n+1$ lados. Temos que:

$A_i_P_1+A_e_P_2=168\textdegree\Rightarrow\dfrac{180(n-2)}{n}+\dfrac{360}{n+1}=168\textdegree$

$(180n-360)(n+1)+360n=168n^2+168n$

$180n^2-360n+180n-360+360n-168n^2-168n=0$

$12n^2+12n-360=0$

$n^2+n-30=0$

$n=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+120}}{2}\Rightarrow\begin{cases}n=5\\\\n=-6~(n\tilde ao\, serve)\end{cases}$

$P_1$ tem $n$ lados e $n=5\Rightarrow d_1=\dfrac{5(5-3)}{2}=5$

$P_2$ tem $n+1$ lados e $n+1=6\Rightarrow d_2=\dfrac{6(6-3)}{2}=9$