Question

dois planos r1 e r2 são paralelos, se os seus vetores normais são paralelos. determine o ângulo entre os planos cuja equações são: r1=2x+2y+2z=0 r2=3x-3y-3z=0

Answer 1

Vn(r1) = (2, 2, 2)
Vn(r2) = (3, -3, -3)

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, basta usar o que se sabe sobre produto escalar. 

u . v = |u| . |v| . cos(a)

Vn(r1) . Vn(r2)  = |Vn(r1)| . |Vn(r2)| . cos(a)

Vn(r1) . Vn(r2)  = (2, 2, 2) . (3, -3, -3) = 6 - 6 - 6 = -6

|Vn(r1)| = Raiz de (2² + 2² + 2²) = raiz de (4+4+4) = raiz de (12) = 2 raiz de 3
|Vn(r2)| = raiz de (3² + (-3)² + (-3)²) = raiz de (9 + 9 + 9) = raiz de (27) = 3 raiz de 3

Isolando o que se quer na fórmula:

Vn(r1) . Vn(r2)  = |Vn(r1)| . |Vn(r2)| . cos(a)
cos(a) = $\frac{Vn(r1) . Vn(r2)}{|Vn(r1)| . |Vn(r2)|}$

cos(a) = $\frac{-6}{2 \sqrt{3} . 3 \sqrt{3} } = \frac{-6}{6 . 3} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$

a = arcosseno de -1/3
a = 70°