Question

Dois pedaços de fio carregados, de comprimento a, estão no eixo x e têm suas extremidades nas posições −2a e −a para o fio com carga total −q, e nas posições a e 2a para o fio com carga q. Encontre o campo elétrico em pontos x > 2a, supondo que a densidade linear de carga nos fios
é λ = bx onde b é uma constante.

Answer 1

O campo elétrico em um ponto onde x > 2a será  kb{(4a²x + 3ax² + x³)/(4a³ + 6a²x + 2ax²) + log[(2x + a)/(4x + 4a)]} N/C.

Anexei uma figura ao final desta resolução, para facilitar o entendimento.

Pela figura podemos ver que os campos gerados por cada uma das barras possuem sentidos opostos, de tal maneira que o campo resultante será a diferença dos dois.

Lembrando que consideraremos apenas pontos com x > 2a que estão sobre a reta x, ou seja, com y = 0.

Pegando a barra/fio 1 da figura, temos que sua densidade linear de cargas é λ = bx. Logo, teremos:

$dq = \lambda dx = bxdx$

, sendo b uma constante.

Sabemos que uma distribuição uniforme de cargas produz um campo elétrico no espaço modelado pela fórmula:

$dE = \frac{kdq}{r^2}$

, onde E será o módulo do campo elétrico, k a constante dielétrica do meio, dq a carga no fio e r a distância entre os extremos da barra e o ponto.

Vamos tomar o ponto de referência P da figura como tendo abscissa p apenas. Desde que p seja maior que 2a, claro.

Deste modo, a distância entre a extremidade esquerda do fio 1 até P será p + 2a. E entre a extremidade direita e P vale p + a.

Com isso em mãos, podemos aplicar uma integral para calcularmos o campo elétrico gerado pelo fio 1 no ponto P:

$E_1 = \int\limits^{p + 2a}_{p + a} {\frac{k(bx)}{(x + p)^2} } \, dx = kb \int\limits^{p + 2a}_{p + a} {\frac{x}{(x + p)^2} } \, dx \\E_1 = kb[\frac{p}{x + p} + log(x + p)]^{p + 2a}_{p + a}\\\\E_1 = kb[\frac{p}{p + 2a} + log(p + 2a + p) - \frac{p}{p + a} - log(p + a + p)]\\E_1 = kb[\frac{p*(p + a - p - 2a)}{(p + a)(p + 2a)} + log(\frac{2p + 2a}{2a + a} )]\\E_1 = kb[log(\frac{2p + 2a}{2p + a} ) - \frac{pa}{(p + a)(p + 2a)}]$

Agora podemos trabalhar com o fio 2 da figura. Tomando a distância entre a extremidade esquerda do fio e o ponto P como x + a e entre a extremidade direita do fio ao ponto P como x, teremos a seguinte integral definida:

$E_2 = \int\limits^{p - a}_{p - 2a} {\frac{k(bx)}{(p - x)^2 } \, dx = kb\int\limits^{p - a}_{p - 2a} {\frac{x}{(p - x)^2 } \, dx \\\\E_2 = kb[\frac{p}{p - x} + log(p - x)]^{p - a}_{p - 2a}$

Continuando:

$E_2 = kb[\frac{p}{p - p + a} + log(p - p + a) - \frac{p}{p - p + 2a} - log(p - p + 2a)]\\E_2 = kb[\frac{p*(2 - 1)}{2a} + log(\frac{a}{2a} )]\\E_2 = kb[\frac{p}{2a} + log(1/2)]$

Portanto, conforme vimos anteriormente, o módulo do campo elétrico resultante no ponto P vai ser:

$E = E_2 - E_1$

Substituindo os valores que calculamos:

$E = kb[\frac{p}{2a} + log(1/2)] + kb[\frac{pa}{(p + a)(p + 2a)} - log(\frac{2p + 2a}{2p + a} )]\\\\E = kb[\frac{(p(p + a)(p + 2a) + 2pa^2}{2a(p + a)(p + 2a)} + log(\frac{2p + a}{4p + 4a} )]\\\\E = kb[\frac{4a^2p + 3ap^2 + p^3}{4a^3 + 6a^2p + 2ap^2} + log(\frac{2p + a}{4p + 4a} )]$

Lembrando que durante todos esses cálculos consideramos p como uma constante. Contudo, p é apenas uma substituição conveniente para o valor de x, do ponto P, logo:

$E = kb[\frac{4a^2x + 3ax^2 + x^3}{4a^3 + 6a^2x + 2ax^2} + log(\frac{2x + a}{4x + 4a} )]$

, para x > 2a.

Você pode aprender mais sobre Campo Elétrico aqui: