Question

dois observadores situados na mesma margem de um rio, conforme a
figura e distantes 10 mt, avistam uma pedra na outra margem, conforme os
angulos de 70º e 60º. Determine a largura do rio

Answer 1

Olá, Cristian.

Chamemos de $x$ e de $y$ cada uma das duas partes da base do triângulo divididas pela altura $l$.
Temos, assim, que:

$\tan60\º=1,732=\frac l x\Rightarrow x=\frac l{1,732}\\\\ \tan70\º=2,747=\frac l y\Rightarrow y=\frac l{2,747}\\\\ x+y=10\Rightarrow\frac l{1,732}+\frac l{2,747}=10\Rightarrow\\\\ \frac{2,747l+1,732l}{1,732\cdot2,747}=10\Rightarrow4,479l=47,578\Rightarrow l=\frac{47,578}{4,479}\Rightarrow\boxed{l=10,622\,m}$

Answer 2

Pela Lei dos Senos:

$\dfrac{a}{\text{sen}~\hat{A}}=\dfrac{b}{\text{sen}~\hat{b}}=\dfrac{c}{\text{sen}~\hat{c}}$.

Observe que, o ângulo oposto ao lado de $10~\text{m}$ mede

$180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ}$.

Assim, chamando o lado oposto ao ângulo de $60^{\circ}$ de $b$ e o lado oposto ao ângulo de $70^{\circ}$ de $c$, temos:

$\dfrac{10}{\text{sen}~50^{\circ}}=\dfrac{b}{\text{sen}~60^{\circ}}=\dfrac{c}{\text{sen}~70^{\circ}}$

$\dfrac{10}{0,766}=\dfrac{b}{0,866}=\dfrac{c}{0,939}$

Com isso, $b\approx11,3$ e $c\approx12,26$.

Assim, $\text{sen}~70^{\circ}=\dfrac{l}{11,3}$

$l\approx0,939\times11,3=10,622~\text{m}$;