Question

Dois objetos são lançados horizontalmente em direção opostas do topo de uma torre com velocidades v1 e v2. determine para qual valor de tempo os vetores velocidade serão perpendiculares um em relação ao outro e a distancia de separação entre os dois objetos.

Answer 1

Resposta:

tempo: $t = \frac{\sqrt{V_{10}V_{20}}}{g}$

distância: $d_T = (V_{10}+V_{20})\frac{\sqrt{V_{10}V_{20}}}{g}$

Explicação:

Primeiramente, acho que o correto seria dizer que os objetos foram lançados em sentidos opostos e na mesma direção. Toda direção tem dois sentidos: esquerda ou direita, cima ou baixo, positivo ou negativo ... depende do problema.

Agora vamos ao problema:

Para que $V_1$ seja perpendicular a $V_2$ precisamos determinar qual o valor do tempo $t$ o produto interno de  $V_1$ por $V_2$ é nulo, ou seja, precisamos determinar $t$ que satisfaz a seguinte equação:

                                           $V_1(t)\cdot V_2(t) = 0$   ---> Eq(1)

Para isso, vamos escrever os vetores nas suas formas de componentes:

$V_1(t) = (V_{1x}(t), V_{1y}(t))$, ---> Eq(2)

$V_2(t) = (V_{2x}(t), V_{2y}(t))$. --->Eq(3)

Agora precisamos encontrar a forma analítica de cada componente. Vamos começar pela componente mais fácil, à saber, a componente $x$. Para isso, basta lembrar que próximo a superfície da Terra o campo gravitacional $g$ é constante e perpendicular à superfície da Terra, isso significa que a força da gravidade não pode alterar a componente

$V_{1x}(t) = V_{1x}(0) = V_{1}(0) =: V_{10}$,  ---> Eq(4)

$V_{2x}(t) = V_{2x}(0) = V_{2}(0) =: -V_{20}$, --->Eq(5)

onde eu defini $V_{10}$ como sendo o módulo da velocidade inicial do objeto 1 e  $V_{20}$  o módulo da velocidade inicial do objeto 2. O sinal de $-$ à esquerda de

Agora nós precisamos determinar a forma analítica para as componentes $y$. Para isso, para simplificar, basta colocar o sistema de coordenadas no topo da torre, e sabendo que os objetos são lançados simultaneamente, temos:

$V_{1y}(t) = -gt$, ---> Eq(6)

$V_{2y}(t) = -gt$. ---> Eq(7)

Agora é só substituir: Substitui as Eqs 4,5,6 e 7 em 2 e 3, temos

$V_1(t) = (V_{10}, -gt)$, ---> Eq(8)

$V_2(t) = (-V_{20}, -gt)$ .---> Eq(9)

Por fim é só substitui as Eqs 8 e 9 na Eq 1 e fazer a conta:

$V_1(t)\cdot V_2(t) = (V_{10}, -gt)\cdot (-V_{20}, -gt) = -V_{10}V_{20}+g^2t^2 = 0$

logo, o valor do tempo para o qual os vetores velocidades serão perpendiculares um em relação ao outro é dado por

                                                    $t = \frac{\sqrt{V_{10}V_{20}}}{g}$.

Para determinar a distância entre eles, basta usar a conhecida fórmula "deus vê tudo" $d = vt$. Vejamos como fica:

O objeto 1 percorre na horizontal uma distância igual a:

$d_1 = V_{10}t$ .

O objeto 2 percorre na horizontal uma distância igual a:

$d_2 = V_{20}t$ .

A distância total entre o objetos 1 e 2 é a soma dessas distância, ou seja:

$d_T = d_1 + d_2 = V_{10}t + V_{20}t = (V_{10}+V_{20})t$ ---> Eq(10)

Agora basta substituir o valor do tempo encontrado na Eq(10), ou seja:

                                          $d_T = (V_{10}+V_{20})\frac{\sqrt{V_{10}V_{20}}}{g}$.

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("Avançado" Opcional)

Agora uma pergunta adicional: Será que o tempo encontrado para que o vetor velocidade dos objetos sejam perpendiculares entre si é menor do que o tempo de queda dos objetos ? Por exemplo, será que se a altura da torre for muito pequena vai dar tempo dos vetores velocidades serem perpendiculares entre si ?

Para responder a essa pergunta basta encontra o tempo que os objetos levam para cair. Vamos denotar por $t_q$ o tempo de queda e por $H$ a altura da torre, então:

$H = \frac{1}{2}gt_q^2$,

logo o tempo de queda é dado por

                                                      $t_q = \sqrt{\frac{2H}{g}}$.

Agora, nos exigimos que o tempo $t$ seja menor que o tempo de queda $t_q$, isso nos leva à condição:

$t\leq t_q\ \Rightarrow\ \frac{\sqrt{V_{10}V_{20}}}{g}\ \leq \ \sqrt{\frac{2H}{g}}$,

agora basta simplificar essa desigualdade e teremos que o tempo para que os vetores velocidade dos objetos 1 e 2 levam para ficarem perpendiculares um em relação ao outro é menor do que o tempo que os objetos levam para atingir o chão se e somente se a seguinte condição for satisfeita:

                                                $H \geq \frac{V_{10}V_{20}}{2g}$ ,

ou seja, se a torre tiver uma altura menor do que o mínimo permitido que é igual a $H_{\text{minimo}} = \frac{V_{10}V_{20}}{2g}}$ então os objetos 1 e 2 atingem o chão antes de que seus vetores velocidades sejam perpendiculares entre si.