Question

Dois números x y, R* são tais que a média aritmética deles é o dobro da média harmônica deles. Se y = αx, então o(s) valor(es) de α é(são): a) 1 b) 1, 5 c)- 3 + √2,3 -√2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf M=\dfrac{x+y}{2}$

$\sf M_H=\dfrac{2xy}{x+y}$

Pelo enunciado:

$\sf M=2\cdot M_H$

$\sf \dfrac{x+y}{2}=\dfrac{4xy}{x+y}$

Como $\sf y=\alpha x$, segue que:

$\sf \dfrac{x+\alpha x}{2}=\dfrac{4\alpha x^2}{x+\alpha x}$

$\sf 8\alpha x^2=x^2+2\alpha x^2+\alpha^2 x^2$

$\sf 8\alpha=1+2\alpha+\alpha^2$

$\sf \alpha^2-6\alpha+1=0$

$\sf \Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot1$

$\sf \Delta=36-4$

$\sf \Delta=32$

$\sf \alpha=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{32}}{2\cdot1}=\dfrac{6\pm4\sqrt{2}}{2}$

$\sf \alpha'=3+2\sqrt{2}$

$\sf \alpha"=3-2\sqrt{2}$

Letra C