Question

Dois números, x e y (x < y), obedecem a relação 3x + y = 13^2. Determine os números de modo que o produto entre eles, P = xy, seja máximo.

Answer 1

Resposta:

x = 14,0833333...

y = 126,75

Explicação passo a passo:

É uma questão de certo modo complexa, por isso leia a solução atentamente.

Veja que a equação está na forma:

$a + y = N$

Sendo:

a = 3x

N = 13²

Veja ainda que queremos encontrar:

$P = \frac{a}{3} * y$

A forma de resolver é semelhante ao problema "máximo produto de dois fatores", mas nesse caso sabemos de antemão que um dois fatores é necessariamente maior que o outro e que multiplicaremos somente a terça parte de um dos fatores. Observe que:

$y = N - a\\\\Ainda:\\\\P = \frac{aN - a^{2} } {3}$

Veja que chegamos a uma função do segundo grau que representa uma parábola com concavidade voltada para cima, logo, é uma função que produz um valor de máximo. Basta então que encontremos um "x" vértice, ou seja, o valor no eixo nas abscissas (eixo x) que representa o valor de que "a" deve ter para que o máximo da função seja real, já que a função representa a variação do produto xy, em função do valor de x (representado em nossa demonstração por  $\frac{a}{3}$).

Veja:

$Yv = \frac{-b}{2a}$

sendo:

a -> termo que acompanha o "a²" na função

b -> termo que acompanha o "a"

Obs: revise função de segundo grau, caso não esteja entendendo.

Então:

$Xv = \frac{-b}{2a}\\ \\ Xv = \frac{-b}{2*(-\frac{1}{3}) } \\ \\ Xv = \frac{-\frac{N}{3}}{-\frac{4}{3} } \\ \\ Xv = \frac{-N}{3} *\frac{-3}{4}\\ \\ Xv = \frac{N}{4}$

Sendo N = 13², então N = 169 e N ÷ 4 = $\frac{169}{4}$, logo para que a multiplicação seja máxima a =

Lembre que lá em cima trocamos 3x por a, logo x = $\frac{a}{3}$. Então:

$x = \frac{a}{3} \\\\x = \frac{\frac{169}{4} }{3} \\\\x = 14.033333333333333...$

Se:

$169 = 3x + y$

Então:

$169 = 3(14.0833333333333...) + y\\y = 169 - 42.25\\\\y = 126.75$

Dessa maneira, sendo x = 14,083333333333 e y = 126.75:

$P = x * y \\\\P = 1785.0625$