Question

Dois números complexos Z1 e Z2 tem seus argumentos respectivamente iguais a 15o e 45o. Sabe – se que o produtos dos módulos desses complexos é igual a 4. Calcule a parte real e imaginária de Z3 onde Z3 = Z1.Z2

Answer 1

Um número complexo é um número da forma z = a + bi, Em que a e b são reais, e i é a unidade imaginária, com i² = -1.

'a' é parte real e 'bi' é a parte imaginária.

Na forma polar, ou trigonométrica:

$\large\boxed{z=r\angle \theta }$

Em que:

$\large\begin{cases}r^{2} =a^{2} +b^{2}\\\theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)\end{cases}$

O ângulo é chamado de argumento do número complexo. E r é o módulo. E ainda, $\angle \theta = \cos\theta +i\sin\theta$

Na sua questão $z_1=r_1 \angle 15^\circ$ e $z_2=r_2 \angle 45 ^\circ$.

Sabemos que $z_1 \cdot z_2= z_3$ e $r_1\cdot r_2=4$

Na multiplicação de dois números complexos na forma polar, procedemos da seguinte forma:

$\large\boxed{z_1 \cdot z_2=r_1 \cdot r_2\angle(\theta_1+\theta_2)}$

Portanto,

$\large \begin{array}{l}z_{3} =r_{1} \cdotp r_{2} \angle ( \theta _{1} +\theta _{2})\\\\=4\angle \left( 15^{\circ } +45^{\circ }\right)\\\\=4\angle 60^{\circ }\\\\=4\cdotp \left(\cos 60^{\circ } +i\sin 60^{\circ }\right)\\\\=4\cdotp \left(\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\\=2+\left( 2\sqrt{3}\right) i\end{array}$

Resposta

⇒A parte real de Z3 é 2. E a parte imaginária é (2√3)i