Question

Dois lados de um triângulo encontram-se sobre as retas
r1 :

x = 2t
y = 3 + t
∀t ∈ R, e
r2 :

x = 2 − s
y = 4 + s
∀s ∈ R, e seja A = (0, 6) um dos vértices do triângulo, determine:
a) [2.5 ponto] Os outros vértices do triângulo sabendo que o baricentro têm coordenadas G = (−2, 3).
b) [1.0 ponto] Uma equação paramétrica da reta que contem o terceiro lado.

Answer 1

a) Os outros vértices do triângulo são: vértice B (2, 4) e vértice C (-8 , -1)

Primeiramente precisamos tirar o parâmetro da reta r1:

x = 2t →  t = x/2   substituindo na 2

y = 3 + t

y = 3 + x/2

2y = 6 + x

x -2y + 6 = 0 (equação 1)  

∨t ∈ R  

r2:

x = 2 - s

s = 2 - x, substituindo na equação 2:

y = 4 + s

y = 4 + 2 - x

x + y - 6 = 0 (equação 3)  

∨s ∈ R    

r1 = x - 2y + 6 = 0  

r2 = x + y -6 = 0  

Então, devemos resolver o sistema de equações entre as equações 1 e 3 temos:

x = 2 e y = 4, portanto temos o vértice B (2, 4)  

O baricentro de um triângulo consiste no encontro das medianas que nos determina o centro de gravidade de um corpo: G (-2,3).  

Após é preciso calcular as coordenadas do ponto C, utilizando a definição de baricentro:

Xg =(Xa + Xb + Xc)/3

Yg = (Ya +Yb +Yc)/3  

-2 = (2 + 0 + Xc)/3

Xc = -8  

3 = (4 + 6 + Yc)/3

Yc = -1  

Temos o vértice C ( -8 , -1 )  

b) Equação paramétrica da reta que contem o terceiro lado: P = 6 - 13t

É preciso encontrar a direção da reta: temos o ponto AC, então (C-A) = (  -8 -0 , -1 -4 ) = (-8, -5 ) = v ( onde v é o vetor que dá a direção da reta)

P = Po + vt , onde Po é um ponto qualquer da reta. Vamos escolher o ponto A e fazer a parametrização:

P = ( 0,6) + (-8,-5)t

P = -8t + 6 -5t  

P = 6 - 13t

Bons estudos!