Question

Dois lados de um triângulo encontram-se sobre as retas r1 :

x = 2t
y = 3 + t
∀t ∈ R, e
r2 :

x = 2 − s
y = 4 + s
∀s ∈ R, e seja A = (0, 6) um dos vértices do triângulo, determine:

a)Os outros vértices do triângulo sabendo que o baricentro têm coordenadas G = (−2, 3).

b)Uma equação paramétrica da reta que contem o terceiro lado.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente vamos "tirar" o parâmetro da reta r1

1 )  x = 2t        →                t = x/2   substituindo na 2

2 ) y = 3 + t   →   y = 3 + x/2  → 2y = 6 + x → x -2y + 6 = 0 ( equação 3 )  

∨t ∈ R

r2:

4 )x = 2 -s    →  s = 2 - x , substituindo na equação 4:

5 ) y = 4 + s  → y = 4 + 2 - x  → x + y - 6 = 0 (equação 6)

∨s ∈ R    

r1 = x - 2y + 6 = 0

r2 = x + y -6 = 0

Resolvendo o sistema de equações entre as equações 3 e 6 temos:

x = 2  e y = 4 , portanto temos o vértice B ( 2, 4 )

O baricentro de um triangulo é o encontro das medianas que nos determina o centro de gravidade de um corpo. G ( -2,3 ). Agora vamos calcular as coordenadas do ponto C. Usando a definição de baricentro.

Xg =( Xa + Xb + Xc)/3        Yg = ( Ya +Yb +Yc)/3  

-2 = ( 2 + 0 + Xc )/3  → Xc = -8

3 = ( 4 + 6 + Yc)/3  → Yc = -1  

Temos o vértice C ( -8 , -1 )

b ) Uma equação paramétrica  da reta que contem o terceiro lado.

Inicialmente temos que achar a direção da reta, temos o ponto AC, então (C-A) = (  -8 -0 , -1 -4 ) = (-8, -5 ) = v ( onde v é o vetor que da a direção da reta)

P = Po + vt  , onde Po é um ponto qualquer da reta vou escolher o ponto A

parametrizando temos:

P = ( 0,6) + (-8,-5)t

P = -8t + 6 -5t

P = 6 - 13t