Question

Dois irmãos gêmeos de 1,80 m de altura cada observam um balão no céu. Giovanni observa o balão sob um ângulo de 75° e Nicholas, distante 30 m de Giovanni, observa o balão sob um ângulo de 30°. A que altura do solo, aproximadamente, encontra-se o balão? 1 ponto (A) 17 m (B) 18 m (C) 19 m (D) 20 m
PFVR ME AJUDEMM

Answer 1

Considerando o triângulo maior, formado pelos vértices em que estão Nicholas (N) , o ângulo de 90° e o balão, temos :

tg 30° = $\frac{H}{30+y}$

$\frac{\sqrt{3} }{3}$ = $\frac{H}{30+y}$

$3H = 30\sqrt{3} + y\sqrt{3}$

$y = \sqrt{3} H - 30$

Obs.: $y$ é a distância desconhecida entre o vértice G e o o vértice que contém o ângulo de 90°

Agora, considerando o triângulo formado com os vértices do balão, do ângulo de 90° e G , temos :

tg 75° = $\frac{H}{y}$

Como tg75 = tg(30+45) e tg(a+b) = $\frac{tga +tgb}{1 - tga.tgb}$ , temos :

tg(30+45) = $\frac{tg30+tg45}{1-tg30.tg45}$

tg75 = $\frac{\frac{\sqrt{3} }{3} + 1 }{1-\frac{\sqrt{3} }{3}.1 }$

tg75 = $\frac{\frac{\sqrt{3}+3 }{3} }{1-\frac{\sqrt{3} }{3} }$

tg75 = $\frac{\frac{\sqrt{3}+3 }{3} }{\frac{3-\sqrt{3} }{3} }$

tg75 = $\frac{\sqrt{3}+3 }{3-{\sqrt{3} } }$

tg 75 = $\frac{\sqrt{3}+3 }{3-\sqrt{3} } . \frac{3+\sqrt{3} }{3+\sqrt{3} }$

tg 75 = $\frac{3\sqrt{3}+3 +9 +3\sqrt{3} }{9 +3\sqrt{3}-3\sqrt{3}-3 }$

tg 75 = $\frac{6\sqrt{3}+12 }{6}$

tg 75 = $\sqrt{3} + 2$

Então :

$\sqrt{3} + 2 = \frac{H}{y}$

$y(\sqrt{3}+2) = H$

Substituindo $y = \sqrt{3}H-30$ nessa equação :

$(\sqrt{3}H - 30)(\sqrt{3}+2)=H$

$3H +2\sqrt{3}H - 30\sqrt{3}- 60 = H$

Considerando $\sqrt{3}$ como aproximadamente 1,7 , temos:

3H + 2.1,7H - 30.1,7 - 60 = H

3H + 3,4H - 51 - 60 = H

6,4H - H = 111

5,4H = 111

H = 20,5 m aproximadamente

A altura do balão ao solo será igual a 20,5 somado à altura dos garotos

h = H + 1,8

h = 20,5 + 1,8

h = 22,3 m

A resposta correta é a letra D, pois apresenta o número mais próximo de 22,3 m

Bons estudos!