Question

Dois corpos A e B, de massa respectivamente iguais a 2 kg e 6 kg, movimentam-se sobre uma mesma trajetória retilínea, no mesmo sentido com velocidades vA = 4 m/s e vB = 1 m/s, onde o atrito é desprezível. Sabendo-se que os corpos realizam uma colisão perfeitamente elástica, determine suas velocidades após o choque.

Answer 1

Com base no resultado obtido é de:

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf V'_A = 4\: m/s }$

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf V'_B =1 \: m/s }$

Uma colisão entre dois corpos que se movem numa mesma reta, antes e depois da colisão, é chamada de choque frontal ou unidimensional.

Se a energia cinética final é igual à energia cinética inicial, a colisão é chamada choque perfeitamente elástico.

A quantidade de movimento também se conserva durante a colisão, pois o sistema de corpos é isolado de forças externas.

A expressão a conservação da quantidade de movimento é dada por:

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf Q_A + Q_B = Q'_A + Q'_B }}$

Sendo que:

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf m_A~ e ~ m_B \to }$ massas dos corpos A e B;

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf V_A~ e ~V_B \to }$ velocidades dos corpos A e B antes da colisão;

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf V'_A~ e ~V'_B \to }$ velocidades dos corpos A e B após a colisão.

Choques em que os corpos se deformam de tal maneira que permaneçam unidos após a colisão são denominados choques perfeitamente inelásticos.

A variação da energia cinética eventualmente ocorrida num choque,  coeficiente de restituição (e), é à razão entre a velocidade relativa de afastamento dos corpos depois do choque e a velocidade relativa de aproximação antes do choque:

$\large\displaystyle \sf { \large \text{\sf e }} = \dfrac{ {\text{\sf velocidade relativa de afastamento (depois) }} }{ {\text{\sf velocidade relativa de aproxima \sf c_{\!\!\!,} \~ao (antes) }} }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf m_A = 2\: kg \\ \sf m_B = 6\: kg \\ \sf V_A = 4\: m/s \quad \longrightarrow \large \text {\sf mesmo sentido } \\ \sf V_B = 1\: m/s \quad \longrightarrow \large \text {\sf mesmo sentido } \\ \sf e = 1 \quad \large \text {\sf perfeitamente el{\'a}stica } \\ \sf V'_A = \:?\: m/s\\ \sf V'_B = \:?\: m/s \end{cases}$

Antes da colisão:

$\large \displaystyle \sf \sf Q_{antes} = Q_A +Q_B$

$\large \displaystyle \sf \sf Q_{antes} = m_A \cdot V_A + m_B \cdot V_B$

$\large \displaystyle \sf \sf Q_{antes} = 2 \cdot 4 + 6 \cdot 1$

$\large \displaystyle \sf \sf Q_{antes} = 8 + 6$

$\large \displaystyle \sf \sf Q_{antes} = 14\: kg \cdot m/s$

Depois da colisão:

$\large \displaystyle \sf \sf Q_{depois} = Q_A +Q_B$

$\large \displaystyle \sf \sf Q_{depois} = m_A \cdot V'_A + m_B \cdot V'_B$

$\large \displaystyle \sf \sf Q_{depois} = 2 \cdot V'_A + 6 \cdot V'_B$

Como a quantidade de movimento antes é igual depois:

$\large \displaystyle \sf \sf Q_{antes} = Q_{depois}$

$\large \displaystyle \sf \sf 14 = 2 \cdot V'_A + 6 \cdot V'_B$

$\large \displaystyle \sf \sf V'_A + 3 \cdot V'_B = 7$

Como e = 1, temos:

Velocidade relativa de aproximação (antes):

$\large \displaystyle \sf \sf V_A + V_B= 4+ 1 = 5\: m/s$

Velocidade relativa de afastamento (depois):

$\large \displaystyle \sf \sf V_A + V_B$

$\large\displaystyle \sf { \large \text{\sf e }} = \dfrac{ {\text{\sf velocidade relativa de afastamento (depois) }} }{ {\text{\sf velocidade relativa de aproxima \sf c_{\!\!\!,} \~ao (antes) }} }$

$\large \displaystyle \sf \sf 1 = \dfrac{V'_A +V'_B}{ 5}$

$\large \displaystyle \sf \sf V'_A + V'_B = 5$

Montar um sistema de equação:

$\large\left\{ \begin{array}{lr}\sf \sf V'_A + 3 \cdot V'_B & \sf= 7 \\ \\\sf \sf V'_A +\cdot V'_B & \sf =5\end{array}\right.$

Aplicar o método da substituição:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf \sf V'_A + 3 \cdot V'_B = 7 \\ \\\sf \sf V'_A \sf = 5 - V'_B \end{cases}$

$\large \displaystyle \sf \sf V'_A + 3 \cdot V'_B = 7$

$\large \displaystyle \sf \sf 5 - V'_B + 3 \cdot V'_B = 7$

$\large \displaystyle \sf \sf 2 \cdot V'_B = 7 - 5$

$\large \displaystyle \sf \sf 2 \cdot V'_B = 2$

$\large \displaystyle \sf \sf V'_B = \dfrac{2}{2}$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf V'_B = 1 \: m/s }} }$

$\large \displaystyle \sf \sf V'_A = 5 - V'_B$

$\large \displaystyle \sf \sf V'_A = 5 - 1$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf V'_A = 4 \: m/s }} }$

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