Question

Dois conjuntos A e B são tais que o número de elementos de A – B é 50, o número de elementos de A U B é 62 e o número de elementos de A – B, A ∩ B e B – A estão em progressão geométrica. Determine o número de elementos do conjunto A ∩ B

Answer 1

n(A - B) = 50 ( elementos que estão em A e não estão em B), sabendo-se que n(AUB) = 62, chamemos n(A∩B) = X e n(B - A) = Y  então                              n(A - B) + n(A∩B) + n(B - A) = n(A∪B), substituindo os valores,                          50 + X + Y = 62 → X + Y = 12(*),  por outro lado 50, X e Y formam uma P.G. logo, X² = 50Y (**), tirando o valor de (*) temos  X = 12 - Y e substituindo em (**) teremos (12 - Y)² = 50Y → 144 - 24Y + Y² = 50Y → Y² - 74Y + 144 = 0, uma equação do segundo grau em Y, cuja as raízes são 2 e 72, excluímos 72 pois é maior que n(A∪B), logo Y = 2 e X = 10, assim o número de elementos do conjunto A∩B, n(A∩B) = 10. Em tempo a razão da PG é 1/5.