Dois conjuntos, A e B, são tais que A tem 8 subconjuntos e B tem 14 subconjuntos próprios. Nessas condições, quantos elementos pode ter, no máximo, o conjunto A (intersecção) B?
Soluções para a tarefa
O enunciado traz que o conjunto A tem 8 subconjuntos e o conjunto B tem 14 subconjuntos, logo, podemos tomar como exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
A /\ B será igual a 8 elementos. Ou seja, teremos que o máximo de elementos que A poderá ter na intersecção com B será 8 elementos, que neste caso, é o próprio conjunto A
A /\ B = 8, ou seja, é o próprio conjunto A.
B deve ter no máximo uma interseção com A.
Operações entre conjuntos e subconjuntos
A união e interseção são operações entre conjuntos que determinam um novo conjunto cujo seus elementos fazem parte de ambos ou de algum deles. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Em notação matemática:
União : A ∪ B = {x ∈ A ou x ∈ B}
Interseção: A ∩ B = {x ∈ A e x ∈ B}
Em resumo, a união junta os elementos dos dois conjuntos e a interseção pega os elementos que eles tem em comum.
Um subconjunto é parte de um conjunto. O número de subconjuntos distintos de um conjunto de n elementos é 2ⁿ. Por exemplo, se um conjunto tem 3 elementos, possui 2³ = 8 subconjuntos.
Do exemplo acima, viu-se que A tem 3 elementos. B por sua vez, tendo 14 subconjuntos próprios, tem, pelo menos, 14 subconjuntos. Logo:
n(B) > 14
Podemos, então, supor que B tenha 4 elementos, pois 2⁴ = 16 > 14. Se isso acontece, B deve ter no máximo uma interseção com A. Isso se justifica, pois dos 16 subconjuntos possíveis de B, um é o conjunto vazio e outro é o subconjunto que tem o mesmo elemento de A.
Veja um exemplo:
A = {a, b, c}
B = {x, y, z, a}
Subconjuntos de A: {}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.
Subconjuntos de B: {}, {x}, {y}, {z}, {a}, {x,y}, {x,z}, {x,a}, {y,z}, {y,a}, {z,a}, {x, y, z}, {x, z, a}, {y, z, a}, {x, y, a}, {x, y, z, a}.
Observe que desses, uma vez que B tem um elemento comum com A, são comuns os subconjuntos {} e {a}.
Logo, B deve ter no máximo uma interseção com A.
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