Question

Dois círculos de raios R e r são tangentes exteriormente no ponto A . Sendo C e D os pontos de tangência de uma reta t externa , com os dois círculos , determine a altura do triângulo ACD relativa ao lado CD .

Answer 1

Praticamente toda a questão se resume em semelhança entre figuras, mas a visualização geométrica da situação é um pouco complicada

Acompanhe na foto (o desenho não está preciso, mas deixei o mais compreensível possível):
Antes de tudo, O é o centro da circunferência de raio r, O' é o centro da circunferência de raio R, e os pontos A, C e D são tais como descritos no enunciado, assim como a reta t
Estou considerando R>r, porém isso não interfere no resultado

O segredo está na construção do quadrilátero FCOD a partir de uma reta s paralela à t (F é a intersecção entre s e a reta O'C)
Como O'C//OD, FC//OD e FC=r
A reta AB, que é a altura que desejamos encontrar, também é paralela à OD/O'C (isso pode ser provado a partir do ponto de tangência A fazer parte da reta que une os centros), o que implica EB=r, já que E é o ponto de intersecção entre a reta s e o segmento AB

Basta agora descobrir AE e somar a EB

O triângulo AEO é semelhante a O'FO:
AE/O'F=EO/FO
AE/(R-r)=r/(R+r)
AE=r(R-r)/(R+r)

AB=AE+EB
h=[r(R-r)/R+r]+r
h=2Rr/(R+r)