Dois cientistas, trabalhando de maneira independente, desenvolveram uma função para representar o crescimento populacional da humanidade. Ambos consideraram as mudanças que ocorreram no comportamento do ser humano e as mudanças climáticas oriundas da atividade humana. As funções que cada um desenvolveu são apresentadas a seguir:
Cientista A:
Cientista B:
em que PA(t) e PB(t) são as populações estimadas por cada um dos cientistas, em bilhões de pessoas, e t é o tempo, em anos, considerando o ano “zero” como 2019.
Partindo destas duas equações, resolva:
a) Encontre a população inicial para as duas funções no ano de 2019, encontre também a população em 2030 e o valor da estimativa populacional para um longo período de tempo, ou seja quando t --> (∞). (0,2 pontos)
b) Encontre as funções que representam a taxa de variação populacional para cada um dos modelos propostos, calcule seus valores para o ano de 2025 e compare esses valores com a diferença entre os valores encontrados para as funções de estimativa populacioal, para os anos de 2025 e 2026. (0,3 pontos)
Soluções para a tarefa
Utilizando derivadas das funções população e limite ao infinito, podemos determinar as informações pedidas pela questão da seguinte forma:
Então temos as seguinte funções dos dois cientistas:
Vamos encontrar logo as derivadas destas funções, pois iremos precisar para a letra B. Ambas as derivadas serão feitas por regra do cociente:
Não irei simplificar estas derivadas, pois acredito que não irá fazer diferença na hora dos calculos em si.
Tendo estas funções podemos ir as perguntas:
a) Encontre a população inicial para as duas funções no ano de 2019, encontre também a população em 2030 e o valor da estimativa populacional para um longo período de tempo, ou seja quando t --> (∞).
Basta substituir nas função t=0 e t=11 e por fim fazer o limite destas funções quando t tende a infinito.
Para A:
Para B:
b) Encontre as funções que representam a taxa de variação populacional para cada um dos modelos propostos, calcule seus valores para o ano de 2025 e compare esses valores com a diferença entre os valores encontrados para as funções de estimativa populacioal, para os anos de 2025 e 2026.
As taxas de variação são as derivadas que já encontramos, então agoras bats substituir valores. Substituindo t=6 na derivada e comparando com a diferença da população em t=7 e t=6.
Para A:
Esta diferença de -0,22 é bem proxima da derivada de -0,21.
Para B:
Esta diferença como a da anterior é proxima da derivada.