Question

Dois capitais, um de $ 2.000 e outro de $ 3.000 foram aplicados em regime de juros compostos; o primeiro à uma taxa de 2% a.m. e o segundo à uma taxa de 1% a.m. em quantos meses o montante da primeira aplicação supera o segundo?

Answer 1

Primeira aplicação:

     •  Capital:  $\mathsf{C_1=R\ ~2000,\!00}$

     •  Taxa:  $\mathsf{i_1=2\%~ao~m\hat{e}s=0,\!02~ao~m\hat{e}s}$


Segunda aplicação:

     •  Capital:  $\mathsf{C_2=R\ ~3000,\!00}$

     •  Taxa:  $\mathsf{i_2=1\%~ao~m\hat{e}s=0,\!01~ao~m\hat{e}s}$


O período de aplicação é o mesmo para ambas:  n


Queremos saber para qual valor de n, o montante gerado pela 1ª aplicação supera o montante gerado pela 2ª aplicação, ou seja

     $\mathsf{M_1>M_2}\\\\ \mathsf{C_1\cdot (1+i_1)^n>C_2\cdot (1+i_2)^n}\\\\ \mathsf{2000\cdot (1+0,\!02)^n>3000\cdot (1+0,\!01)^n}\\\\ \mathsf{2000\cdot (1,\!02)^n>3000\cdot (1,\!01)^n}$


Como os fatores envolvidos são todos positivos, podemos passar dividindo, e o sentido da desigualdade se mantém:

     $\mathsf{\dfrac{(1,\!02)^n}{(1,\!01)^n}>\dfrac{3000}{2000}}\\\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{1,\!02}{1,\!01}\right)^{\!n}>\dfrac{3}{2}}$


Tome logaritmos de ambos os lados. Logo a base do logaritmo neperiano é e > 1, o sentido da desigualdade se mantém:

     $\mathsf{\ell n\bigg[\left(\dfrac{1,\!02}{1,\!01}\right)^{\!n}\bigg]>\ell n\left(\dfrac{3}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{n\cdot \ell n\left(\dfrac{1,\!02}{1,\!01}\right)>\ell n\left(\dfrac{3}{2}\right)}$


Como 1,02 > 1,01, temos que 1,02/1,01 > 1. Logo, ln(1,02/1,01) > 0, ou seja, é um número positivo. Portanto, podemos passar dividindo e o sentido da desigualdade se mantém:

     $\mathsf{n>\dfrac{\ell n\left(\frac{3}{2}\right)}{\ell n\left(\frac{1,\!02}{1,\!01}\right)}}\\\\\\ \mathsf{n>\dfrac{0,\!405465108}{0,\!00985229644}}$

     $\mathsf{n>41,\!2~meses.}$


O montante da 1ª aplicação supera o da 2ª aplicação em 41,2 meses.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)