Question

Dois canhões lançam balas com as mesmas velocidades. O da esquerda foi direcionado de modo tal que atinja o alvo da figura. Quantos segundos após o canhão da esquerda efetuar o disparo o canhão à direita deve disparar para interceptar a bala e assim conseguir proteger os moradores da casa?

Answer 1

O canhão da direita deve disparar 8,57 s após o disparo do canhão da esquerda para interceptar a bala.

O que é movimento balístico?

O movimento balístico (ou lançamento oblíquo) é a área da física que estuda o movimento dos projéteis. O estudo dessa ciência foi muito útil para o desenvolvimento de armas de guerra como as catapultas, trebuchets e canhões.

Solução:

1. Vamos anotar os dados do problema:

Para o canhão 1:

$\large \begin{array}{lr} \sf \bullet x_o=0; \\\\ \sf \bullet \ y_o=400 \ m;\\\\\sf \bullet \ \theta = 45^o. \end{array}$

Para o canhão 2:

$\large \begin{array}{lr} \sf \bullet x_o = 5 \ km = 5000 \ m; \\\\\sf \bullet \ y_o = 200 \ m; \\\\\sf \bullet \ \varphi = 30^o. \end{array}$

2. Vamos primeiro determinar a velocidade inicial da bala. Para isso, usaremos as funções do movimento da bala do canhão 1 e vamos supor que a bala atinja a casa, ou seja, o alcance horizontal é x = 3 km = 3000 m e a altura do projétil no momento do impacto é y = 0.

• Movimento horizontal:

$\large \begin{array}{lr} \sf x=v_{ox}t\\\\\\\sf x=(v_o cos \ 45^o) t\\\\\\\sf 3000=(v_o cos \ 45^o)t\\\\\\ \boxed{\sf t=\dfrac{3000}{v_o cos \ 45^o}} \qquad(1) \end{array}$

• Movimento vertical:

$\large \begin{array}{lr} \sf y=y_o+v_{oy} t-\dfrac{1}{2}gt^2\\\\\\\sf y=400+(v_osen \ 45^o)t - 5t^2\\\\\\\boxed{\sf 0=400+(v_osen \ 45^o)t - 5t^2} \qquad \sf (2) \end{array}$

3. Substituindo ( 1 ) em ( 2 ), obtemos:

$\large \begin{array}{lr} \sf 0=400 + (v_o sen \ 45^o) \cdot \Bigg (\dfrac{3000}{v_ocos \ 45^o} \Bigg )-5\cdot \Bigg (\dfrac{3000}{v_ocos \ 45^o} \Bigg )^2\\\\\\\sf 0 = 4\cdot 10^2+(3\cdot 10^3) \cdot tg \ 45^o-\dfrac{9\cdot 10^7}{v_o^2}\\\\\\\sf \dfrac{9\cdot 10^7}{v_o^2} = 3{,}4\cdot 10^3\\\\\\\sf v_o^2=\dfrac{9\cdot10^7}{3{,}4\cdot 10^3}\\\\\\\sf v_o=\sqrt{\dfrac{9\cdot10^4}{3{,}4}}\\\\\\\therefore \boxed{\sf v_o \approx 163 \ m/s} \end{array}$

4. Agora que sabemos a velocidade inicial da bala de ambos os canhões, vamos usar esse dado para escrever as funções x(t), y(t) dos movimentos das balas.

• Para o canhão 1:

$\large \begin{array}{lr} \sf x_1 = x_1(t)=v_ot\\\\\\\sf x_1(t)=v_ocos \ 45^ot\\\\\\\sf x_1(t)=163\cdot cos \ 45^o t\\\\\\\boxed{\sf x_1(t)=115t} \qquad \sf (3) \end{array}$

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$\large \begin{array}{lr} \sf y_1=y_1(t)=400+v_osen \ 45^ot-5t^2\\\\\\\sf y_1(t)=400+163\cdot sen \ 45^ot-5t^2\\\\\\\boxed{\sf y_1(t)=400+115t-5t^2} \qquad \sf (4) \end{array}$

• Para o canhão 2 o tempo é contado após o disparo da bala pelo canhão 1 e deve ser diferente deste. Logo, vamos chamar o tempo aqui de t' :

$\large \begin{array}{lr} \sf x_2 = x_2(t')=x_o+v_ot'\\\\\\\sf x_2(t')=5000-v_ocos \ 30^ot'\\\\\\\sf x_2(t')=5000-163\cdot cos \ 30^o t'\\\\\\\boxed{\sf x_2(t')=5000-141t'}\qquad \sf (5) \end{array}$

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$\large \begin{array}{lr} \sf y_2=y_2(t')=200+v_osen \ 30^ot'-5t'^2\\\\\\\sf y_2(t')=200+163\cdot sen \ 30^ot-5t'^2\\\\\\\boxed{\sf y_2(t')=200+81{,}5t'-5t'^2} \qquad \sf (6) \end{array}$

5. Vamos igualar as funções dos movimentos. Lembre-se de fazer "x com x" e "y com y".

$\large \begin{array}{lr} \displaystyle \sf \left \{ {{x_1(t)=x_2(t')} \atop {y_1(t)=y_2(t')}} \right. \\\\\\\displaystyle \sf \left \{ {{115t=5000-141t'} \atop {400+115t-5t^2 =200+81{,}5t'-5t'^2}} \right. \end{array}$

6. Reorganizando os termos e fazendo os devidos cálculos, obtemos o sistema equivalente nas incógnitas t e t' :

$\large \begin{array}{lr} \displaystyle \sf \left \{ {{115t+141t'=5000} \atop {5(t'^2-t^2)+115t-81{,}5t'+200=0}} \right. \end{array}$

7. Esse sistema é de difícil resolução. Para contornar o problema vamos usar o software matemático do Wolfram (gratuito). As soluções obtidas foram:

$\large \begin{array}{lr} \sf \bullet t_1 =-88{,}62 \ s \quad e \quad t'_1=107{,}74 \ s\\\\\sf \bullet \ t_2=24{,}25 \ s \quad e \quad t'_2=15{,}68 \ s \end{array}$

8. O primeiro par de soluções não convêm, pois é fisicamente impossível termos tempo negativo. Assim, a solução do sistema é:

$\large \begin{array}{lr} \boxed{\sf t=24{,}25 \ s \quad e \quad t'=15{,}68 \ s} \end{array}$

A diferença entre os tempos é o tempo que o canhão 2 deve aguardar para efetuar o disparo e interceptar a bala. Logo:

$\large \begin{array}{lr} \sf t-t'=25{,}25-15{,}68\\\\\\\therefore \boxed{\sf t-t'=8{,}57 \ s} \end{array}$

Obs.: essa tarefa foi respondida em conjunto com meu amigo Lionelson (https://brainly.com.br/app/profile/19053203/answers) o qual agradeço imensamente a ajuda.

Continue aprendendo com o link abaixo:

Movimento retilíneo uniformemente variado - MRUV

https://brainly.com.br/tarefa/51055780

Bons estudos

Equipe Brainly!