Question

Dois blocos conectados por uma corda passando por uma pequena polia, sem atrito, e em repouso num plano também sem atrito.

(veja a figura acima).

(a) Em que direção o sistema irá se mover quando os blocos forem liberados do repouso?

(b) Qual aaceleração dos blocos?

(c) Qual a tensão da corda?​

Answer 1

Dados:

$m_A=100\ kg,\ m_B=50\ kg,\ \theta=30\º,\ \phi=53.1\º,\ g\approx9.81\ m/s^2$

b)

Para calcular a aceleração dos blocos, devemos levar em conta o diagrama de forças agindo no eixo x. No bloco A (m = 100 kg), temos apenas a componente em x da força peso de A. No bloco B, apenas a componente em x da força peso de B. Dessa forma, teremos:

$\sum{F}=ma\ \therefore\ \boxed{W_B_x-W_A_x=ma}$

$W_A_x$ e $W_B_x$ podem ser calculadas da seguinte maneira:

$W_A_x=W_A\sin{\theta}=m_Ag\sin{\theta}\\ W_B_x=W_B\sin{\phi}=m_Bg\sin{\phi}$

Substituindo, temos que:

$m_Bg\sin{\phi}-m_Ag\sin{\theta}=(m_A+m_B)a\ \therefore\\\\ \boxed{a=g\bigg(\dfrac{m_B\sin{\phi}-m_A\sin{\theta}}{m_A+m_B}\bigg)}$

Substituindo com os valores conhecidos, a aceleração dos blocos será:

$a=9.81\bigg(\dfrac{50\sin{53.1\º}-100\sin{30\º}}{100+50}\bigg)\ \therefore\ \boxed{a\approx-0.655\ m/s^2}$

c)

Analisando o diagrama de forças de cada bloco, vemos que:

$\left\{\begin{array}{cc}T-W_A_x=m_Aa\\W_B_x-T=m_Ba\end{array}\right$

Para encontrar a tensão da corda, basta isolar T em qualquer uma das equações:

$T-W_A_x=m_Aa\ \therefore\\\\ T-m_Ag\sin{\theta}=m_Ag\bigg(\dfrac{m_B\sin{\phi}-m_A\sin{\theta}}{m_A+m_B}\bigg)\ \therefore$

$T=m_Ag\bigg(\dfrac{m_B\sin{\phi}-m_A\sin{\theta}}{m_A+m_B}+\sin{\theta}\bigg)\ \therefore$

$T=m_Ag\bigg(\dfrac{m_B\sin{\phi}-m_A\sin{\theta}+m_A\sin{\theta}+m_B\sin{\theta}}{m_A+m_B}\bigg)\ \therefore$

$T=m_Ag\bigg(\dfrac{m_B\sin{\phi}+m_B\sin{\theta}}{m_A+m_B}\bigg)\ \therefore$

$\boxed{T=\dfrac{m_Am_Bg}{m_A+m_B}\big(\sin{\theta}+\sin{\phi}\big)}$

Substituindo com os valores conhecidos, a tensão da corda será:

$T=\dfrac{(100)(50)(9.81)}{100+50}\big(\sin{30\º}+\sin{53.1\º}\big)\ \therefore\ \boxed{T\approx425\ N}$

a)

A direção para qual o sistema se moverá quando os blocos forem liberados do repouso dependerá dos valores das componentes em x dos pesos dos blocos A e B (já calculadas anteriormente):

$m_A_x=m_Ag\sin{\theta}\ \therefore\\\\ m_A_x=100(9.81)\sin{30\º}\ \therefore\ \boxed{m_A_x\approx490.5\ N}$

$m_B_x=m_Bg\sin{\phi}\ \therefore\\\\ m_B_x=50(9.81)\sin{53.1\º}\ \therefore\ \boxed{m_B_x\approx392.245\ N}$

Tomando o lado direito como sentido positivo do eixo x, a força resultante nesse eixo será:

$\sum{F_x}=W_B_x-W_A_x\ \therefore\ \sum{F_x}\approx392.245-490.5\ \therefore\\\\ \boxed{\sum{F_x}\approx-98.255\ N}$

Como $\sum{F_x}<0$, o sistema se moverá para o sentido negativo do eixo x, i.e., para a esquerda.