Question

Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O primeiro voa direta mente para o norte, até atingir o paralelo de Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade. a) Desprezando as variações de altitude, qual avião terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique sua resposta.b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a Terra seja esférica.Note e adote:cos 56° = 0,56; sen 56° = 0,83; cos 16° = 0,96; sen 16° = 0,28latitude e longitude de Brasília: 16°S e 48°Wlatitude e longitude de Moscou: 56°N e 37°ERaio da Terra: 6.400 km

Answer 1

Consideramos, a partir da figura, B e M, respetivamente, como sendo Brasília e Moscou, posicionadas na superfície terrestre.

1) Brasília está no paralelo 16ºS e Moscou no paralelo 56°N, o ângulo AÔB determinado por estes dois paralelos e com vértice no centro da Terra é de 56° + 16° = 72° e, assim, sobre os meridianos, encontramos os arcos AB e MD, de modo que:
AB = MD = R . 72°$\pi$ / 180° = 2$\pi R$ / 5 , em que R é o raio da Terra (considerando-a esférica).

2) Se Brasília está no meridiano 48°W e Moscou no meridiano 37° E, e sendo os ângulos AGM, COE e BFD entre os meridianos, encontramos:

AGM = COE = BFD = 48° + 37° = 85°

3) Nos triângulos retângulos AGO e BFO, encontramos:
AG = R cos56° = 0,56R    e      BF = R cos16° = 0,96 R

Por consequência temos:

AM = AG . 85° $\pi$ / 180° = 0,56R . 17$\pi$ / 36 = 9,52$\pi$ R / 36

BD = BF . 85°$\pi$ / 180° = 0,96R . 17$\pi$ / 36 = 16 . 32$\pi$ R / 36


a) O primeiro avião percorre a distância de:
AB + AM = 2$\pi$R / 5 + 9,52 $\pi$R / 36 = 119,6$\pi$R / 180

O segundo avião percorre a distância de:
BD + DM = 16,32$\pi$ R / 36 + 2$\pi$ R / 5 = 153,6 $\pi$R / 180

Assim, constatamos que o segundo avião percorre a maior distância.


b) A diferença existente entre as duas distâncias, em km, é de:

153,6$\pi$R / 180 - 119,6$\pi$ R / 180 = 34 . $\pi$ . 6 400 / 180 ≈ 1 209$\pi$


Portanto, as respostas esperadas para a atividade são:
a) O segundo avião percorre a maior distância.
b) Aproximadamente 1 209 $\pi$ km.