Question

Dois automóveis partem, em um dado instante, de um mesmo ponto e seguem em linha reta por duas estradas diferentes que fazem ângulo de 60o uma com respeito a outra.

Após uma hora, um dos automóveis percorreu 80 quilômetros e o outro apenas metade dessa distância.


Sendo assim, qual a distância, em linha reta, entre os dois automóveis, em quilômetros?


A)
$\frac{40}{\sqrt 3}$

B)
40

C)
$40\sqrt{3}$

D)
$40\sqrt 5$

E)
120​

Answer 1

Resposta:



Explicação passo a passo:

Answer 2

A distância em linha reta entre os automóveis é de $40\sqrt{3} \; km$. Alternativa C.

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos, aplicável em triângulos, estabelece que, sendo a, b e c os lados de um triângulo e $\alpha$ o ângulo formado entre os lados b e c:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos \; \alpha$

Observe que no caso desta questão, podemos compreender como um triângulo, no qual um dos lados mede 80 km, o outro mede 40 km, e o terceiro lado é a distância em linha reta entre os dois carros. Tem-se ainda um ângulo de 60º entre os lados de 40 km e 80 km.

Aplicando, assim, a lei dos cossenos, temos:

$a^2 = 40^2 + 80^2 - 2 \cdot40 \cdot 80 \cdot cos\; 60\º\\\\a^2 = 1.600 + 6.400 - 6.400 \cdot 0,5\\\\a^2 = 8.000 - 3.200\\\\a^2 = 4.800\\\\a = \sqrt{4.800} \\\\a = \sqrt{64 \cdot 25 \cdot 3} \\\\a = 8\cdot 5 \sqrt{3} \\\\a = 40\sqrt{3} \; km$

Logo, a distância em linha reta entre os dois veículos é de $40\sqrt{3} \; km$. Alternativa C.

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