Question

Dois atletas correm com velocidades constantes em uma pista retilínea, partindo simultaneamente de extremos opostos, A e B. Um dos corredores parte de A, chega a B e volta para A. O outro corredor parte de B, chega a A e volta para B. Os corredores cruzam-se duas vezes, a primeira vez a 800m de A e a segunda vez a 500m de B. Qual o comprimento da pista em metros?

Se puder, mostre os calculos.

Answer 1

Uma das partes mais importantes do enunciado, para mim, foi "com velocidades constantes". Você entenderá por quê. Leia minha explicação complementando-a com "passadas de olho" sobre os anexos que fiz para ilustrar. Vamos lá! Chamemos o comprimento da pista de x.

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PARTE 1:

A questão diz que o primeiro encontro - ponto azul no anexo -  ocorreu a 800 m de A. O que concluímos?

• O atleta que partiu de A percorreu 800 m em um intervalo de tempo Δt;
• O atleta que partiu de B percorreu (x - 800) m em um intervalo de tempo também igual a Δt.

Como a velocidade escalar de ambos é constante - movimento uniforme -, podemos dizer que a velocidade do atleta que partiu de A (chamaremos ela de Va) é igual a 800/Δt. Em se tratando do atleta que partiu de B, sua velocidade escalar Vb é dada por (x - 800)/Δt.

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PARTE 2:

Agora, analisaremos o segundo encontro (ponto vermelho no anexo). Levamos em consideração que o segundo encontro ocorreu enquanto o atleta que partiu de A retornava ao local de origem. Note que para que o segundo encontro acontecesse o atleta que partiu de A precisou chegar a B (ou seja, percorrer (x - 800) m) e, depois, voltar mais 500 m. Ao todo ele percorreu (x - 800) + 500, o mesmo que (x - 300) m. Isso aconteceu em um outro intervalo de tempo, que agora chamaremos de Δt'. O que aconteceu com o atleta que partiu de B foi 800 + (x - 500), ou seja, (x + 300) m no intervalo de tempo Δt'.

FINAL:

Disso, temos que:

Va = (x - 300)/Δt'

Vb = (x + 300)/Δt'

Podemos igualar as velocidades, pois embora as frações pareçam diferentes, REPRESENTAM O MESMO VALOR, visto que as velocidades são constantes.

Va => (x - 300)/Δt' = 800/Δt

Vb => (x + 300)/Δt' = (x - 800)/Δt

Como não estou conseguindo colocar o delta nas frações, tive de "mexer" com essas equações escrevendo, mesmo. Veja o que fiz no segundo anexo lá em baixo.

Pronto, temos duas frações que correspondem a Δt'/Δt. Sendo assim, podemos igualá-las:

$\frac{x-300}{800} = \frac{x+300}{x-800}$

Organizando, temos:

(x - 300) . (x - 800) = 800 . (x + 300)

x² - 800x - 300x + 240000 = 800x + 240000

x² - 1100x = 800x

x² - 1100x - 800x = 0

x² - 1900x = 0

FATORANDO:

x . (x - 1900) = 0

Logo, x = 0 [não convém, pois o comprimento da pista não pode ser de 0 m] ou ( x - 1900) = 0.

Para o segundo caso, temos x = 1900. Essa é a resposta.

O comprimento da pista é igual a 1900 m.

Observação sobre o primeiro anexo: os pontos azul e vermelho foram colocados ali de maneira meramente ilustrativa. O comprimento dos seguimentos originados de tais colocações não podem ser levados em consideração durante os cálculos.