Question

Dois amigos, rodrigo e joao pedro, lancam dois dados e, se a soma das faces voltadas para cima for 5, rodrigo ganha ,mas, se a soma for 8 , joao pedro ganha. Os dados foram lancados e sabe-se que o rodrigo nao ganhou, entao qual é a probabilidade de joao pedro ter ganhado?

Answer 1

No lançamento de dois dados, temos

a soma mínima é $1+1=2;$

a soma máxima é $6+6=12;$

e o total de pares diferentes que podem sair é

$6\times 6=36\text{ pares poss\'{i}veis.}$


$\bullet\;\;$ De quantas formas diferentes Rodrigo pode ganhar?

Queremos saber de quantas formas diferentes a soma obtida é $5:$

$1+4=5;\\ \\ 2+3=5;\\ \\ 3+2=5;\\ \\ 4+1=5;$


Logo, temos quatro pares de resultados, cuja soma é $5.$


Vamos chamar esse evento de $A:$

$A=\{\text{pares de resultados cuja soma \'{e} 5}\}\\ \\ A=\{(1;\,4);\,(2;\,3);\,(3;\,2);\,(4;\,1)\}$


Então, a probabilidade de Rodrigo ganhar é

$p(A)=\dfrac{4}{36}\\ \\ \\ p(A)=\dfrac{1}{9}$


$\bullet\;\;$ De quantas formas diferentes João Pedro pode ganhar?

Agora, queremos saber de quantas formas diferentes a soma obtida é $8:$

$2+6=8;\\ \\ 3+5=8;\\ \\ 4+4=8;\\ \\ 5+3=8;\\ \\ 6+2=8;$


Logo, temos cinco pares de resultados, cuja soma é $8.$


Vamos chamar esse evento de $B:$

$B=\{\text{pares de resultados cuja soma \'{e} 8}\}\\ \\ B=\{(2;\,6);\,(3;\,5);\,(4;\,4);\,(5;\,3);\,(6;\,2)\}$


Então, a probabilidade de João Pedro ganhar é

$p(B)=\dfrac{5}{36}$


$\bullet\;\;$ A probabilidade de Rodrigo não ganhar é

$p(\overline{A})=1-p(A)\\ \\ p(\overline{A})=1-\dfrac{1}{9}\\ \\ \\ p(\overline{A})=\dfrac{9-1}{9}\\ \\ \\ p(\overline{A})=\dfrac{8}{9}$


Depois de jogados os dados, já se sabe que Rodrigo não ganhou, ou seja, o evento $\overline{A}$ ocorreu.


$\bullet\;\;$ Qual a probabilidade de João Pedro ganhar, sabendo que Rodrigo não ganhou?

A questão acima, pede a probabilidade de ocorrer o evento $B$ dado que $\overline{A}$ ocorreu (probabilidade condicional):

$p(B|\overline{A})=\dfrac{p(B\cap \overline{A})}{p(\overline{A})}\;\;\;\;{\mathbf{(i)}}$


Qual é o evento $B\cap \overline{A}?$ É o evento

$B\cap \overline{A}=\{\text{pares de resultados cuja soma \'{e} 8, mas n\~{a}o 5}\}$


Se um par dá soma $8,$ automaticamente ele não dá soma $5.$ Logo, todo par do evento $B$ também é par do evento $\overline{A}:$

$B\subset \overline{A}\\ \\ \Rightarrow\;\;B\cap \overline{A}=B\\ \\ \Rightarrow\;\;p(B\cap \overline{A})=p(B)\\ \\ \Rightarrow\;\;p(B\cap \overline{A})=\dfrac{5}{36}$


Sendo assim, a probabilidade de o resultado ser $8,$ e não ser $5,$ é a mesma probabilidade do evento $B.$


Voltando à expressão $\mathbf{(i)}$ da probabilidade condicional, temos que

$p(B|\overline{A})=\dfrac{p(B\cap \overline{A})}{p(\overline{A})}\;\;\;\;{\mathbf{(i)}}\\ \\ \\ p(B|\overline{A})=\dfrac{(\frac{5}{36})}{(\frac{8}{9})}\\ \\ \\ p(B|\overline{A})=\dfrac{5}{36}\cdot \dfrac{9}{8}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} p(B|\overline{A})=\dfrac{5}{32} \end{array}}$


A probabilidade de João Pedro ter ganhado, dado que Rodrigo não ganhou, é de $\dfrac{5}{32}.$