Question

Dois amigos apostam em quem lança uma pedra para o alto e atinge a maior altura Cada pedra é lançada do mesmo ponto e, durante um certo intervalo de tempo, observa-se que cada uma teve um alcance horizontal de 20 m. Para certos números a e b, as pedras descrevem trajetórias parabólicas, uma segundo a parábola de equação y= $- \frac{1}{20} x^{2} +a$ e a outra segundo a parábola y= $- \frac{1}{10} x^{2} +b$ . A maior altura, em metros, atingida por uma das pedras foi de ?

agradeço muito pela resposta !! bem esclarecida ::

Answer 1

Olá, Gabriel.

A altura da pedra é calculada a partir do chão, ou seja, no chão temos y = 0.
Isto significa que o alcance horizontal é a distância entre as duas raízes de cada uma das funções que descrevem as trajetórias.
Para obtermos os valores de $a$ e $b$, devemos, então, calcular as diferenças entre as raízes de cada função e igualar a 20.

Raízes da função da trajetória 1:
$-\frac1{20}x^2+a=0\Rightarrow\frac1{20}x^2=a\Rightarrow x^2=20a\Rightarrow x=\pm\sqrt{20a}=\\=\pm\sqrt{4\cdot5a}=\pm2\sqrt{5a}$

Amplitude da trajetória 1:
$2\sqrt{5a}-(-2\sqrt{5a})=4\sqrt{5a}=20\Rightarrow\sqrt{5a}=\frac{20}4=5\Rightarrow5a=25\Rightarrow a=5$

Raízes da função da trajetória 2:
$-\frac1{10}x^2+b=0\Rightarrow\frac1{10}x^2=b\Rightarrow x^2=10b\Rightarrow x=\pm\sqrt{10b}$

Amplitude da trajetória 2:
$\sqrt{10b}-(-\sqrt{10b})=2\sqrt{10b}=20\Rightarrow\sqrt{10b}=\frac{20}2=10\Rightarrow10b=100\Rightarrow b=10$

As trajetórias são dadas, portanto, pelas funções $y=-\frac1{20}x^2+5$ e $y=-\frac1{10}x^2+10$

A altura máxima alcançada em cada trajetória é dada pela ordenada do vértice de cada uma das parábolas.

Altura máxima da trajetória 1:
$y=-\frac1{20}x^2+5\Rightarrow\Delta=0-4\cdot(-\frac1{20})\cdot5=1\Rightarrow\\\\ y_{v\'ertice}=-\frac{\Delta}{4\cdot(-\frac1{20})}=-\frac1{-\frac15}=5$

Altura máxima da trajetória 2:
$y=-\frac1{10}x^2+10\Rightarrow\Delta=0-4\cdot(-\frac1{10})\cdot10=4\Rightarrow\\\\ y_{v\'ertice}=-\frac{\Delta}{4\cdot(-\frac1{10})}=-\frac4{-\frac25}=\frac{4\cdot5}2=10$

 A maior altura atingida por uma das pedras foi, portanto, de 10 metros.