Question

Dois alunos brincam com os números. O primeiro

diz: 10, e o outro responde: 11. Depois, o primeiro

diz: 12, e o outro: 14. Eles brincam por um bom

tempo com os números. Observe as anotações e

determine o número que o primeiro aluno disse

na quinta vez que falou e na sétima vez,

respectivamente:

O primeiro : O segundo:

1 0 1 1

1 2 1 4

1 6 1 9

2 2 2 6

... ...
os próximos sao:
(A) 29 e 52

(B) 30 e 45

(C) 30 e 52

(D) 38 e 52

(E) 38 e 62

Answer 1

A alternativa é
(30 e 52) = letra C

Pois:
Segundo aluno      Primeiro aluno
11                          10
14                          12
19                          16
26                          22
35                          30
42                          36
59                          52

Daí:
11 - 10 = 1
14 - 12 = 2
19 - 16 = 3
26 - 22 = 4
35 - 30 = 5
46 - 40 = 6
59 - 52 = 7

Espero ter ajudado. Valeu!                 

Answer 2

•  Sequência dos números ditos pelo 1º aluno:     sequência (aₙ)

(10, 12, 16, 22, ...)


O que acontece se tomarmos uma nova sequência, formada pelas das diferenças entre dois termos consecutivos da sequência acima?

sequência (bₙ):

(b₁, b₂, b₃, ...)

(a₂ – a₁, a₃ – a₂, a₄ – a₃, ...)

(12 – 10, 16 – 12, 22 – 16, ...)

(2, 4, 6, ...)   <———   Esta é uma P.A. de razão r = 2.


bₙ = b₁ + (n – 1) · r

bₙ = 2 + (n – 1) · 2

bₙ = 2 + 2n – 2

bₙ = 2n

aₙ₊₁ – aₙ = 2n            para n = 1, 2, 3, ...


Algo interessante acontece se somarmos todos os termos da sequência bₙ até o penúltimo termo

(soma de uma P.A. de (n – 1) termos):

b₁ + b₂ + ... + bₙ₋₁ = [ (b₁ + bₙ₋₁) · (n – 1) ]/2

(a₂ – a₁) + (a₃ – a₂) + ... + (aₙ – aₙ₋₁) = [ (b₁ + bₙ₋₁) · (n – 1) ]/2


Note que há vários cancelamentos de termos opostos no lado esquerdo, ficando assim:

– a₁ + aₙ = [ (b₁ + bₙ₋₁) · (n – 1) ]/2


Substituindo os valores conhecidos, temos

– 10 + aₙ = [ (2 + 2(n – 1) ) · (n – 1) ]/2

– 10 + aₙ = [ (2 + 2n – 2) · (n – 1) ]/2

– 10 + aₙ = [ 2n · (n – 1) ]/2

– 10 + aₙ = n · (n – 1)

aₙ = n · (n – 1) + 10            para n = 1, 2, 3, ...      (i)


Esta é a fórmula geral para a sequência dos números ditos pelo 1º aluno.

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•  Sequência dos números ditos pelo 2º aluno:     sequência (cₙ)

(11, 14, 19, 26, ...)


Procedendo de forma análoga ao que foi feito para o 1º aluno, tomando uma nova sequência, formada pelas das diferenças entre dois termos consecutivos da sequência acima:

sequência (dₙ):

(d₁, d₂, d₃, ...)

(c₂ – c₁, c₃ – c₂, c₄ – c₃, ...)

(14 – 11, 19 – 14, 26 – 19, ...)

(3, 5, 7, ...)   <———   Esta também é uma P.A. de razão r = 2.


dₙ = d₁ + (n – 1) · r

dₙ = 3 + (n – 1) · 2

dₙ = 3 + 2n – 2

dₙ = 2n + 1

cₙ₊₁ – cₙ = 2n + 1            para n = 1, 2, 3, ...


Somando todos os termos da sequência P.A. (dₙ), até o penúltimo termo:

d₁ + d₂ + d₃ + ... + dₙ₋₁ = [ (d₁ + dₙ₋₁) · (n – 1) ]/2

(c₂ – c₁) + (c₃ – c₂) + ... + (cₙ – cₙ₋₁) = [ (d₁ + dₙ₋₁) · (n – 1) ]/2


Efetuando os cancelamentos dos termos opostos no lado esquerdo, ficamos com

– c₁ + cₙ = [ (d₁ + dₙ₋₁) · (n – 1) ]/2


Substituindo os valores conhecidos,

– 11 + cₙ = [ (3 + (2(n – 1) + 1) ) · (n – 1) ]/2

– 11 + cₙ = [ (3 + (2n – 2 + 1) ) · (n – 1) ]/2

– 11 + cₙ = [ (3 + (2n – 1) ) · (n – 1) ]/2

– 11 + cₙ = [ (2n + 2) · (n – 1) ]/2

– 11 + cₙ = [ 2 · (n + 1) · (n – 1) ]/2

– 11 + cₙ = (n + 1) · (n – 1)

cₙ = (n + 1) · (n – 1) + 11            para n = 1, 2, 3, ...      (ii)


Esta é a fórmula geral para a sequência dos números ditos pelo 2º aluno.

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Observação: Vamos encontrar por exemplo os números ditos pelo 1º e pelo 2º alunos na 6ª vez:

(n = 6)

•  1º aluno:

a₆ = 6 · (6 – 1) + 10

a₆ = 6 · 5 + 10

a₆ = 30 + 10

a₆ = 40


•  2º aluno:

c₆ = (6 + 1) · (6 – 1) + 11

c₆ = 7 · 5 + 11

c₆ = 46


Na 6ª vez, o 1º e o 2º alunos disseram os números 40 e 46, respectivamente.

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A questão pede os números ditos pelo 1º aluno na 5ª vez e na 7ª vez.

•  Na 5ª vez:

a₅ = 5 · (5 – 1) + 10

a₅ = 5 · 4 + 10

a₅ = 20 + 10

a₅ = 30


•  Na 7ª vez:

a₇ = 7 · (7 – 1) + 10

a₇ = 7 · 6 + 10

a₇ = 42 + 10

a₇ = 52


Os números procurados são 30 e 52.


Resposta: alternativa (C) 30 e 52.


Bons estudos! :-)