Question

Doia dadoa, com suas faces numeradas de 1 a 6, são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter por resultado dois numeros primos ou dois multiplos de 3 ?

Answer 1

Olá, boa tarde!

1) Os números primos no dado são o 2,3,5 ---> 3 números

Como o dado possui 6 números, a probabilidade de se obter um número primo no primeiro dado é: 3/6 = 1/2

E a probabilidade de se obter um número primo no segundo dado também é:

3/6 = 1/2

Como você vai lançar os dois dados, a probabilidade total de se obter dois números primos será:

1/2 * 1/2 = 1/4

2) Os números múltiplos de 3 no dado são 3 e 6 --> 2 números.

Como o dado possui 6 números, a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3 no primeiro dado é: 2/6 = 1/3

E a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3 no segundo dado também é:

2/6 = 1/3

Como você vai lançar os dois dados, a probabilidade total de se obter dois números múltiplos de 3 será:

1/3 * 1/3 = 1/9

3)

Porém devemos analisar a probabilidade de ser primo e múltiplo de 3 no lançamento.

Perceba que o 3 é primo e múltiplo de 3. ---> 1 número

Como o dado possui 6 números, a probabilidade de ser 3 

no primeiro dado: 1/6 . E a probabilidade de ser 3 no segundo dado:

é a mesma ---> 1/6 

Probabilidade total de se obter dois números múltiplos de 3 e ao mesmo tempo primos será = 1/6 * 1/6 = 1/36

Devemos agora fazer a união das probabilidades para encontrar a probabilidade de se obter por resultado dois números primos ou dois múltiplos de 3:

Somamos as probabilidades iniciais e retiramos a interseção (que é a probabilidade dos números serem primos e múltiplos de 3 ao mesmo tempo):

Ficará : 1/4 + 1/9 - 1/36 = 12/36 = 1/3

Answer 2

PROBABILIDADE DE UM DADO SER PRIMO:

NÚMEROS PRIMOS: {2,3,5}= 3

CASOS POSSÍVEIS DO DADO A: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6

P(A) = NÚMERO DE CASOS FAVORÁVEIS (NF)/NÚMERO DE CASOS POSSÍVEIS (NP)

P (A)= NF/NP = 3/6

PROBABILIDADE DE DOIS DADOS, SEREM PRIMOS:

TEREMOS 36 POSSIBILIDADES DE COMBINAÇÕES: {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1,5); (1,6); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6);...;(6, 6)}

SE LISTARMOS TODOS OS CASOS POSSÍVEIS, TEREMOS 9 CASOS FAVORÁVEIS: {(2, 2); (2, 3); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 5); (5, 2); (5, 3); (5, 5)}.

UTILIZANDO A FÓRMULA P(A∩B) = NF/NP = 9/36

TAMBÉM ENCONTRARÍAMOS PELO TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO DE EVENTOS INDEPENDENTES:

PROBABILIDADE DE SER PRIMO DADO A: 3/6

PROBABILIDADE DE SER PRIMO DADO B: 3/6

P(1) (A∩B) = P(A) . P(B) = 3/6.3/6 = 9/36

PROBABILIDADE DE UM DADO SER MÚLTIPLO DE 3:

NÚMEROS PRIMOS: {3,6}= 2

CASOS POSSÍVEIS DO DADO A: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6

UTILIZAREMOS O TEOREMA PARA ENCONTRAR A PROBABILIDADE DOS DOIS DADOS

P(2) (A∩B)= P(A).P(B)= 2/6 . 2/6 = 4/36

SE LISTARMOS TODOS OS CASOS POSSÍVEIS, TEREMOS 4 CASOS FAVORÁVEIS EM 36 CASOS POSSÍVEIS: {(3, 3); (3, 6); (6, 3); (6, 6).

A PROBABILIDADE DE SE OBTER POR RESULTADO DOIS NÚMEROS PRIMOS OU DOIS MULTIPLOS DE 3, (P3), SE DARIA PELA SOMA (P1 + P2):

9/36+4/36 = 13/36

MAS OBSERVEMOS QUE EXISTE UM CASO QUE TANTO É PRIMO QUANTO É MÚLTIPLO DE 3: {(3, 3)}

ESTARÍAMOS CONTANDO DUAS VEZES ELE COMO UM CASO FAVORÁVEL.

LOGO A RESPOSTA SERÁ: 12/36