Question

Do topo de um edifício,a 20 m do solo atirasse um objeto verticalmente para cima com velocidade inicial de 10 m/s.Considere a resistência do ar nula e a aceleração de gravidade no local de 10 m/s elevado a dois e determine:
A)o tempo de subida do corpo;
B)o tempo de chegada do solo desde o lançamento;
C)altura máxima atingida pelo objetivo.

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ A) 1 [s]; B) aproximadamente 3,24 [s]; C) 25 [m]. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos utilizar a função horária da velocidade, a fórmula do sorvetão e a equação de Torricelli.⠀⭐⠀

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⠀⠀⠀☔⠀Pelas equações da aceleração média e da velocidade média podemos deduzir uma função horária da posição para movimentos retilíneos uniformemente variados (também chamada de fórmula do sorvetão), encontrando assim um equação da dinâmica que relaciona as posições inicial e final, a velocidade inicial, a aceleração e o tempo analisado:

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                $\gray{\boxed{~~\begin{array}{lcr}\\&\Large\pink{\underline{\bf~~~~F\acute{o}rmula~do~sorvet\tilde{a}o~~~~}}&\\\\\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~I)~~Rearranjando~a_m~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf a_m = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v_f - v_i}{t_f - 0}}&\\\\&\boxed{\orange{\sf v_f = v_i + a_m \cdot t_f\qquad\red{\sf\footnotesize(func_{\!\!,}\tilde{a}o~hor\acute{a}ria~da~velocidade)}}}&\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~somamos~v_i~em~ambos~os~lados~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf v_f + v_i = 2 \cdot v_i + a_m \cdot t_f }&\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~e~dividimos~ambos~os~lados~por~2~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf v_m \rightarrow \boxed{\sf \dfrac{v_f + v_i}{2}} = v_i + \dfrac{ a_m \cdot t_f}{2}}\\\\&\green{\sf\clubsuit~~\underline{~II)~~Rearranjando~v_m~}~~\clubsuit}&\\\\&\orange{\sf v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s_f - s_i}{t_f - 0}}&\\\\&\boxed{\orange{\sf s_f = s_i + v_m \cdot t_f\quad\:\:\:\red{\sf\:\footnotesize(func_{\!\!,}\tilde{a}o~horaria~da~posic\tilde{a}o)}}}&\\\\&\green{\sf\blacklozenge~~\underline{~III)~~De~I)~em~II)~temos~}~~\blacklozenge}&\\\\&\orange{\sf s_f = s_i + \left(v_i + \dfrac{a_m \cdot t_f}{2}\right) \cdot t_f}&\\\\\\&\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf s(t) = s_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}&\\\\\end{array}~~}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo assim temos:

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A) o tempo de subida do corpo    ✍

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⠀⠀⠀➡️⠀Na altura máxima a velocidade será nula, ou seja, pela função horária da velocidade temos v₀ = 10 [m/s] e a = -10 [m/s²]:

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$\LARGE\blue{\sf 0 = 10 + (-10) \cdot t}$

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$\LARGE\blue{\sf  10 \cdot t = 10}$

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$\LARGE\blue{\sf  t = \dfrac{10}{10} = 1~[s]}$   ✅

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B) o tempo de chegada do solo desde o lançamento    ✍

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⠀⠀⠀➡️⠀Pela fórmula do sorvetão temos que:

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$\LARGE\blue{\sf 0 = 20 + 10 \cdot t + \dfrac{(-10) \cdot t^2}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf 5 \cdot t^2 - 10 \cdot t - 20 = 0}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{5 \cdot t^2 - 10 \cdot t - 20}{5} = \dfrac{0}{5}}$

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$\LARGE\blue{\sf t^2 - 2 \cdot t - 4 = 0}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Pela fórmula de Bháskara temos:

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$\LARGE\blue{\sf \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}$

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$\LARGE\blue{\sf \Delta = 4 + 16 = 20}$

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$\begin{cases}\large\blue{\text{ \sf t_{1} = \dfrac{-(-2) + \sqrt{20}}{2 \cdot 1} \approx \dfrac{2 + 4{,}47}{2} \approx 3{,}24~[s] }}\\\\\\\large\blue{\text{ \sf t_{2} = \dfrac{-(-2) - \sqrt{20}}{2 \cdot 1} \approx \dfrac{2 - 4{,}47}{2} \approx -1{,}24~[s] }}\end{cases}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Como estamos interessados somente na solução positiva de tempo então sabemos que o total até o solo será de aproximadamente  3,24 segundos.   ✅

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C) altura máxima atingida pelo objetivo    ✍

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⠀⠀⠀➡️⠀Se isolarmos o tempo na função horária da velocidade e substituirmos na fórmula do sorvetão encontraremos uma função que ao invés de depender do tempo ela agora depende somente do deslocamento, e a ela damos o nome de equação de Torricelli:

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                              $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta s}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo assim sabemos que a altura máxima alcançada pelo objeto (partindo do topo do prédio) será de:

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$\LARGE\blue{\sf 0^2 = 10^2 + 2 \cdot (-10) \cdot \Delta s}$

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$\LARGE\blue{\sf 20 \cdot \Delta s = 100}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \Delta s = \dfrac{10\backslash\!\!\!{0}}{2\backslash\!\!\!{0}} = 5~[m] }}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Considerando também a altura do prédio então temos que sua altura máxima será de 20 + 5 = 25 metros. ✅  

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⠀⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre funções horárias:

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