Question

Do ponto de vista da Aritmética, a criação de novos conjuntos numéricos se deu pela impossibilidade da realização das operações inversas em alguns conjuntos estudados. Vamos lembrar essas impossibilidades.

a) ESCREVA AS OPERAÇÕES QUE VOCÊ JÁ ESTUDOU E DESTAQUE AQUELAS QUE ADMITEM OPERAÇÃO INVERSA. ESCREVA A RESPECTIVA OPERAÇÃO INVERSA.

b) NO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS, QUAIS OPERAÇÕES INVERSAS NEM SEMPRE SÃO POSSÍVEIS? DÊ EXEMPLOS PARA CADA UMA DELAS.

c) PROCEDA DO MESMO MODO PARA O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Flasch, pelo que está perguntado nas questões "b" e "c", subentende-se que o aluno só estudou (até agora) o conjunto dos números Naturais e o conjunto dos números Inteiros, pois o item "a" diz isto: "Escreva as operações que você já estudou e destaque aquelas que admitem operação inversa e escreva a respectiva operação inversa".

Ora, como os itens "b" e "c" só se referem ao conjunto dos números Naturais e ao conjunto dos números Inteiros, então é por isso que estamos subentendendo que o aluno só estudou esses dois conjuntos até agora.

Nesse caso, vamos nos cingir apenas a esses dois conjuntos: ao conjunto dos números Naturais e ao conjunto dos números Inteiros. Veja que esses dois conjuntos são dados assim:

N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; ........} e assim, de uma em uma unidade vai até o "+∞".

e

Z = {-∞; .....-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; .......; +∞} e assim, como você está vendo, o conjunto dos números inteiros começa desde o "-∞" e, de uma em uma unidade, vai até o "+∞".

i) Agora vamos responder ao que está contido nos itens "b" e "c".

b) No conjunto dos números Naturais, quais operações inversas nem sempre são possíveis. Dê exemplos para cada uma delas.

Veja: no conjunto dos números Naturais (que vimos aí em cima) são possíveis as operações de soma (pois a soma de dois ou mais números naturais sempre resulta em outro número natural) e de multiplicação (pois o produto entre dois ou mais números naturais sempre resulta em outro número natural). Veja estes exemplos:

b.1) Soma no âmbito dos números Naturais:

0 + 1 + 2 = 3 ----- veja que "3" ∈ N
50 + 3 = 53 ------ veja que "53" ∈ N

b.2) Produto no âmbito dos números Naturais:

0*1*3 = 0 ----- veja que "0" ∈ N
50*3 = 150 ---- veja que "150" ∈ N.

b.3) No entanto, a subtração (operação inversa da soma) e a divisão (operação inversa da multiplicação) NEM sempre são possíveis no âmbito dos números Naturais. Veja:

b.3.i) Veja (na subtração):

0 - 3 = - 3 ----- note que "-3" ∉ N
5 - 10 = - 5 ---- note que "-5" ∉ N

b.3.ii) Veja (na divisão):

3/2 = 1,5 ------ note que "1,5" ∉ N
5/3 = 0,666.... --- note que "0,666..." ∉ N.

c) Proceda do mesmo modo para o conjunto dos números inteiros relativos. Note que o conjunto dos números inteiros relativos é todo o conjunto dos números inteiros (conforme vimos antes).

c.1) Note aquilo que não foi conseguido no âmbito dos números Naturais será possível no âmbito dos números Inteiros. Veja:

c.1.i) Na soma entre dois ou mais números inteiros sempre resulta em outro número inteiro. Veja:

-1 + 1 = 0 ---- note que "0" ∈ Z
-3 + (-2) + 4 + 5 = - 3 - 2 + 4 + 5 = 4 ---- note que "4" ∈ Z.

c.1.ii) Na subtração (que é o inverso da soma) entre dois ou mais números inteiros sempre resulta em outro número inteiro:

-2 - 3 = - 5 ---- note que "-5" ∈ Z
80 - 50 = 30 ---- note que "30" ∈ Z
-50 - 30 = - 80 ---- note que "-80" ∈ Z

c.1.iii) Na divisão (que é o inverso da multiplicação) entre dois números inteiros nem sempre resulta em outro número inteiro. Veja:

4/3 = 1,333...... ---- note que "1,333...." ∉ Z
5/6 = 0,8333...... ---- note que "0,8333...." ∉ Z

c.1.iv) Por isso é que foi necessário criar o conjunto dos números Racionais, que seria o conjunto que "abrigaria" esse tipo de número. Mas não vamos nos estender sobre ele, pois, pelo que afirmamos antes, estamos subentendendo que o aluno só viu, até agora, o conjunto dos números Naturais e o conjunto dos números Inteiros.

É isso aí.
Deu pra entender bem
 
OK?
Adjemir.